Determine a transformada inversa de cada uma das seguintes funções:
X(s)=8(s+3)(s^2+4)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada inversa de Laplace da função X(s)=8(s+3)(s^2+4). O conteúdo principal é transformada inversa de Laplace, e vamos precisar usar decomposição em frações parciais para depois aplicar tabelas conhecidas de L^-1.

Passo 2

Assumimos a forma de frações parciais:
X(s)=As+3+Bs+Cs^2+4
Isso nos permite separar termos que têm transformadas inversas conhecidas.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (s+3)(s^2+4) e comparamos coeficientes. Temos:
8 = A(s^2+4)+(Bs+C)(s+3)
Expandindo e agrupando em potências de s:
8 = (A+B)s^2+(3B+C)s+(4A+3C)

Passo 4

Igualando coeficientes de s^2, s e termo constante, obtemos o sistema:
A+B=0, 3B+C=0, 4A+3C=8
Resolvendo, achamos:
A=813, B=-813, C=2413

Passo 5

Substituindo os valores na decomposição, fica:
X(s)=8/13s+3+-tfrac813s+tfrac2413s^2+4

Passo 6

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo. Sabemos que:
L^-1tfrac1s+3=e^-3t, L^-1tfracss^2+4=cos(2t), L^-1tfrac2s^2+4=sin(2t)
Separando o numerador do segundo termo, obtemos:
-813,cos(2t)+2413cdot12sin(2t)= -813cos(2t)+1213sin(2t)

Passo 7

Juntando tudo, a transformada inversa é:
x(t)=813e^-3t-813cos(2t)+1213sin(2t), t>=0

Resposta

x(t)=tfrac813e^-3t-tfrac813cos(2t)+tfrac1213sin(2t)

Exercícios relacionados