Determine a transformada inversa,
, para cada uma das seguintes transformadas de Laplace e suas regiões de convergência associadas:
com RDC
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada inversa de Laplace, $ x(t) $, da função $ X(s) = \frac{5s + 2}{s^{2} + 2s + 1} $ com a região de convergência $ \operatorname{Re}(s) < -1 $. Aqui, vamos usar conceitos de Transformada de Laplace e suas propriedades para chegar à solução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da função $ X(s) $. A expressão $ s^{2} + 2s + 1 $ pode ser fatorada como $ (s + 1)^{2} $. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos reescrever o numerador $ 5s + 2 $ de forma que fique em termos de $ (s + 1) $. Podemos ajustar os coeficientes:
Portanto, a função fica:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a transformada inversa de cada termo separadamente utilizando tabelas de Transformada de Laplace.
Para $ \frac{5}{s + 1} $:
Sabemos que $ \mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{s + a}\right} = e^{-a t} $. Então:
Sabemos que $ \mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{s + a}\right} = e^{-a t} $. Então:
Para $ \frac{3}{(s + 1)^{2}} $:
Sabemos que $ \mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{(s + a)^{2}}\right} = t e^{-a t} $. Então:
Sabemos que $ \mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{(s + a)^{2}}\right} = t e^{-a t} $. Então:
Passo 5
Finalmente, juntamos as duas transformadas inversas encontradas:
Resposta
A transformada inversa é $ x(t) = e^{-t}(5 - 3t) $ com a região de convergência $ \operatorname{Re}(s) < -1 $.