Determine a transformada inversa, x(t), para cada uma das seguintes transformadas de Laplace e suas regiões de convergência associadas:
X(s)=5 s+2s^2+2 s+1 com RDC Re(s)<-1

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada inversa de Laplace, $ x(t) $, da função $ X(s) = \frac{5s + 2}{s^{2} + 2s + 1} $ com a região de convergência $ \operatorname{Re}(s) < -1 $. Aqui, vamos usar conceitos de Transformada de Laplace e suas propriedades para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da função $ X(s) $. A expressão $ s^{2} + 2s + 1 $ pode ser fatorada como $ (s + 1)^{2} $. Então, temos:
X(s)

Passo 3

Agora, vamos reescrever o numerador $ 5s + 2 $ de forma que fique em termos de $ (s + 1) $. Podemos ajustar os coeficientes:
5s + 2
Portanto, a função fica:
(s + 1)

Passo 4

Agora, vamos encontrar a transformada inversa de cada termo separadamente utilizando tabelas de Transformada de Laplace.
Para $ \frac{5}{s + 1} $:
Sabemos que $ \mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{s + a}\right} = e^{-a t} $. Então:
5s + 1
Para $ \frac{3}{(s + 1)^{2}} $:
Sabemos que $ \mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{(s + a)^{2}}\right} = t e^{-a t} $. Então:
L^-11s + a = e^-a t

Passo 5

Finalmente, juntamos as duas transformadas inversas encontradas:
x(t) = 5 e^-t - 3 t e^-t = e^-t(5 - 3t)

Resposta

A transformada inversa é $ x(t) = e^{-t}(5 - 3t) $ com a região de convergência $ \operatorname{Re}(s) < -1 $.

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