Determine a transformada inversa, x(t), para cada uma das seguintes transformadas de Laplace e suas regiões de convergência associadas:
X(s)=5 s+2s^2+2 s+1 com RDC Re(s)>-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace! A gente precisa encontrar a transformada inversa $ x(t) $ para a função dada $ X(s) = \frac{5s + 2}{s^2 + 2s + 1} $ com a região de convergência $ \operatorname{Re}(s) > -1 $. Vamos usar conceitos de álgebra para simplificar a fração e aplicar as regras de transformada inversa de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. A gente tem $ s^2 + 2s + 1 $, que é um trinômio quadrado perfeito. Então:
s^2 + 2s + 1
Agora, nossa função $ X(s) $ fica:
s^2 + 2s + 1 = (s + 1)^2

Passo 3

Para facilitar a aplicação da transformada inversa, vamos reescrever o numerador $ 5s + 2 $ de uma forma que o denominador já apareça. Podemos expressar $ 5s + 2 $ como $ 5(s + 1) - 3 $:
5s + 2
Substituindo isso na função $ X(s) $:
5s + 2

Passo 4

Agora, simplificamos cada termo separadamente:
5(s + 1)(s + 1)^2 = 5s + 1
3(s + 1)^2 = 3(s + 1)^2
Então, temos:
X(s) = 5s + 1 - 3(s + 1)^2

Passo 5

Vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo. Sabemos que:
L^-11s + a = e^-a t
L^-11(s + a)^2 = t e^-a t
Aplicando isso aos nossos termos:
L^-15s + 1 = 5 e^-t
L^-13(s + 1)^2 = 3 t e^-t

Resposta

Portanto, a transformada inversa é:
x(t) = 5 e^-t - 3 t e^-t

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