Determine a transformada inversa,
, para cada uma das seguintes transformadas de Laplace e suas regiões de convergência associadas:
com RDC
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace! A gente precisa encontrar a transformada inversa $ x(t) $ para a função dada $ X(s) = \frac{5s + 2}{s^2 + 2s + 1} $ com a região de convergência $ \operatorname{Re}(s) > -1 $. Vamos usar conceitos de álgebra para simplificar a fração e aplicar as regras de transformada inversa de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. A gente tem $ s^2 + 2s + 1 $, que é um trinômio quadrado perfeito. Então:
Agora, nossa função $ X(s) $ fica:
Passo 3
Para facilitar a aplicação da transformada inversa, vamos reescrever o numerador $ 5s + 2 $ de uma forma que o denominador já apareça. Podemos expressar $ 5s + 2 $ como $ 5(s + 1) - 3 $:
Substituindo isso na função $ X(s) $:
Passo 4
Agora, simplificamos cada termo separadamente:
Então, temos:
Passo 5
Vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo. Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:
Resposta
Portanto, a transformada inversa é: