Determine a Transformada de Laplace, a região de convergência associada e o diagrama de polos e zeros para cada um dos sinais abaixo, utilizando a equação de definição da transformada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace do sinal $ x(t) = e^{-2 t} u(t) + e^{-3 t} u(t) $, além da região de convergência (ROC) e do diagrama de polos e zeros. Para isso, vamos usar a definição da Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para analisar sinais no domínio da frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da definição da Transformada de Laplace. A transformada de um sinal $ x(t) $ é dada por:
Aqui, $ s $ é uma variável complexa. Para cada termo do nosso sinal $ x(t) $, vamos aplicar essa definição.
Passo 3
Vamos separar nosso sinal em duas partes:
Onde $ u(t) $ é a função degrau unitário, que vale 1 para $ t \geq 0 $ e 0 caso contrário. Isso simplifica a nossa integral porque só precisamos considerar $ t $ de 0 a infinito.
Passo 4
Vamos calcular a Transformada de Laplace de cada termo separadamente.
Primeiro, para $ e^{-2 t} u(t) $:
Integrando:
Passo 5
Agora, para $ e^{-3 t} u(t) $:
Integrando:
Passo 6
Agora, somamos as duas Transformadas:
Para combinar essas frações, vamos encontrar um denominador comum:
Passo 7
Agora, vamos determinar a região de convergência (ROC). Cada termo individualmente tem sua própria ROC:
- Para $ \frac{1}{s + 2} $, a ROC é $ Re(s) > -2 $
- Para $ \frac{1}{s + 3} $, a ROC é $ Re(s) > -3 $
A ROC comum, ou seja, onde ambas as Transformadas convergem, será o intervalo onde ambas as condições são satisfeitas. Portanto:
Passo 8
Por último, vamos desenhar o diagrama de polos e zeros. A Transformada $ X(s) = \frac{2s + 5}{(s + 2)(s + 3)} $ tem:
- Zeros: valores de $ s $ que anulam o numerador $ 2s + 5 = 0 \Rightarrow s = -\frac{5}{2} $
- Polos: valores de $ s $ que anulam o denominador $ s + 2 = 0 \Rightarrow s = -2 $ e $ s + 3 = 0 \Rightarrow s = -3 $
Então, no diagrama, temos:
- Um zero em $ s = -\frac{5}{2} $
- Polos em $ s = -2 $ e $ s = -3 $
Resposta
A Transformada de Laplace do sinal é:
A região de convergência é $ Re(s) > -2 $.
O diagrama de polos e zeros possui um zero em $ s = -\frac{5}{2} $ e polos em $ s = -2 $ e $ s = -3 $.