Determine a Transformada de Laplace, a região de convergência associada e o diagrama de polos e zeros para cada um dos sinais abaixo, utilizando a equação de definição da transformada:
x(t)=e^-2 t u(t)+e^-3 t u(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace do sinal $ x(t) = e^{-2 t} u(t) + e^{-3 t} u(t) $, além da região de convergência (ROC) e do diagrama de polos e zeros. Para isso, vamos usar a definição da Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para analisar sinais no domínio da frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição da Transformada de Laplace. A transformada de um sinal $ x(t) $ é dada por:
x(t)
Aqui, $ s $ é uma variável complexa. Para cada termo do nosso sinal $ x(t) $, vamos aplicar essa definição.

Passo 3

Vamos separar nosso sinal em duas partes:
x(t) = e^-2 t u(t) + e^-3 t u(t)
Onde $ u(t) $ é a função degrau unitário, que vale 1 para $ t \geq 0 $ e 0 caso contrário. Isso simplifica a nossa integral porque só precisamos considerar $ t $ de 0 a infinito.

Passo 4

Vamos calcular a Transformada de Laplace de cada termo separadamente.
Primeiro, para $ e^{-2 t} u(t) $:
e^-2 t u(t)
Integrando:
X1(s) = integral0^infty e^-2 t e^-s t dt = integral0^infty e^-(s + 2) t dt

Passo 5

Agora, para $ e^{-3 t} u(t) $:
e^-3 t u(t)
Integrando:
X2(s) = integral0^infty e^-3 t e^-s t dt = integral0^infty e^-(s + 3) t dt

Passo 6

Agora, somamos as duas Transformadas:
X(s) = X1(s) + X2(s) = 1s + 2 + 1s + 3
Para combinar essas frações, vamos encontrar um denominador comum:
X(s) = (s + 3) + (s + 2)(s + 2)(s + 3) = 2s + 5(s + 2)(s + 3)

Passo 7

Agora, vamos determinar a região de convergência (ROC). Cada termo individualmente tem sua própria ROC:
  • Para $ \frac{1}{s + 2} $, a ROC é $ Re(s) > -2 $
  • Para $ \frac{1}{s + 3} $, a ROC é $ Re(s) > -3 $
A ROC comum, ou seja, onde ambas as Transformadas convergem, será o intervalo onde ambas as condições são satisfeitas. Portanto:
1s + 2

Passo 8

Por último, vamos desenhar o diagrama de polos e zeros. A Transformada $ X(s) = \frac{2s + 5}{(s + 2)(s + 3)} $ tem:
  • Zeros: valores de $ s $ que anulam o numerador $ 2s + 5 = 0 \Rightarrow s = -\frac{5}{2} $
  • Polos: valores de $ s $ que anulam o denominador $ s + 2 = 0 \Rightarrow s = -2 $ e $ s + 3 = 0 \Rightarrow s = -3 $
Então, no diagrama, temos:
  • Um zero em $ s = -\frac{5}{2} $
  • Polos em $ s = -2 $ e $ s = -3 $

Resposta

A Transformada de Laplace do sinal é:
X(s) = 2s + 5(s + 2)(s + 3)
A região de convergência é $ Re(s) > -2 $.
O diagrama de polos e zeros possui um zero em $ s = -\frac{5}{2} $ e polos em $ s = -2 $ e $ s = -3 $.

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