Use as tabelas de transformadas e propriedades para determinar as transformadas diretas ou inversas dos sinais abaixo:
com
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função no domínio de $ s $, que é:
O objetivo aqui é encontrar a transformada inversa dessa função, ou seja, descobrir qual é o sinal no domínio do tempo $ x(t) $ que corresponde a $ X(s) $. Para isso, vamos usar propriedades das transformadas de Laplace, que é o método padrão para fazer essa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de $ \frac{1}{s - 3} $ em relação a $ s $. Vamos fazer isso passo a passo:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Então, agora temos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a transformada inversa de $ X(s) = \frac{2}{(s - 3)^3} $. Para isso, vamos lembrar de uma tabela básica de transformadas de Laplace. Sabemos que:
Onde $ \mathcal{L}{ \cdot } $ representa a transformada de Laplace, $ n! $ é o fatorial de $ n $, e $ a $ é uma constante.
Comparando com o nosso $ X(s) $, temos:
- $ a = 3 $
- O denominador é $ (s - 3)^3 $, então $ n + 1 = 3 $ → $ n = 2 $
- O numerador é $ 2 $, que é igual a $ n! = 2! = 2 $
Passo 4
Agora que identificamos os valores, podemos aplicar a transformada inversa usando a fórmula inversa:
Aqui, $ t^2 $ vem de $ n = 2 $ e $ e^{3 t} $ vem de $ a = 3 $.
Resposta
A transformada inversa de $ X(s) = \frac{d^{2}}{d s^{2}}\left(\frac{1}{s - 3}\right) $ é: