Use as tabelas de transformadas e propriedades para determinar as transformadas diretas ou inversas dos sinais abaixo:
RDC Re(s)>3 com

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função no domínio de $ s $, que é:
s
O objetivo aqui é encontrar a transformada inversa dessa função, ou seja, descobrir qual é o sinal no domínio do tempo $ x(t) $ que corresponde a $ X(s) $. Para isso, vamos usar propriedades das transformadas de Laplace, que é o método padrão para fazer essa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de $ \frac{1}{s - 3} $ em relação a $ s $. Vamos fazer isso passo a passo:
Primeira derivada:
1s - 3
Segunda derivada:
s
Então, agora temos:
dd s(1s - 3) = -1(s - 3)^2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a transformada inversa de $ X(s) = \frac{2}{(s - 3)^3} $. Para isso, vamos lembrar de uma tabela básica de transformadas de Laplace. Sabemos que:
X(s) = 2(s - 3)^3
Onde $ \mathcal{L}{ \cdot } $ representa a transformada de Laplace, $ n! $ é o fatorial de $ n $, e $ a $ é uma constante.
Comparando com o nosso $ X(s) $, temos:
  • $ a = 3 $
  • O denominador é $ (s - 3)^3 $, então $ n + 1 = 3 $ → $ n = 2 $
  • O numerador é $ 2 $, que é igual a $ n! = 2! = 2 $

Passo 4

Agora que identificamos os valores, podemos aplicar a transformada inversa usando a fórmula inversa:
L^-12(s - 3)^3 = t^2 e^3 t
Aqui, $ t^2 $ vem de $ n = 2 $ e $ e^{3 t} $ vem de $ a = 3 $.

Resposta

A transformada inversa de $ X(s) = \frac{d^{2}}{d s^{2}}\left(\frac{1}{s - 3}\right) $ é:
X(s) = d^2d s^2(1s - 3)

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