Determine a transformada inversa,
, para cada uma das seguintes transformadas de Laplace e suas regiões de convergência associadas:
com RDC
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a transformada inversa de Laplace, $ x(t) $, da função dada:
Além disso, temos que considerar a Região de Convergência (RDC) que é $ -2 < \operatorname{Re}(s) < -1 $. Vamos usar conceitos de transformada de Laplace e frações parciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, para encontrar a transformada inversa de Laplace, geralmente fazemos a decomposição em frações parciais. Isso significa que vamos escrever $ X(s) $ como a soma de termos mais simples que a gente já sabe a transformada inversa.
Então, precisamos expressar:
Onde $ A $, $ B $ e $ C $ são constantes que vamos determinar.
Passo 3
Para encontrar $ A $, $ B $ e $ C $, vamos multiplicar ambos os lados da equação por $ (s + 1)(s - 1)(s + 2) $ para eliminar os denominadores:
Agora, escolhemos valores de $ s $ que simplificam a equação:
- Se $ s = -1 $:
- Se $ s = 1 $:
- Se $ s = -2 $:
Passo 4
Agora que temos os valores de $ A $, $ B $ e $ C $, podemos reescrever $ X(s) $:
Passo 5
Em seguida, vamos lembrar das transformadas inversas básicas:
Aplicando isso a cada termo:
- $ \frac{1}{s + 1} $ se torna $ e^{-t} $
- $ \frac{-2}{s - 1} $ se torna $ -2e^{t} $
- $ \frac{1}{s + 2} $ se torna $ e^{-2t} $
Passo 6
Agora, juntando todas as partes, a transformada inversa $ x(t) $ é:
Resposta
A transformada inversa de Laplace é: