Determine a transformada inversa, x(t), para cada uma das seguintes transformadas de Laplace e suas regiões de convergência associadas:
X(s)=-5 s-7(s+1)(s-1)(s+2) com RDC -2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a transformada inversa de Laplace, $ x(t) $, da função dada:
x(t)
Além disso, temos que considerar a Região de Convergência (RDC) que é $ -2 < \operatorname{Re}(s) < -1 $. Vamos usar conceitos de transformada de Laplace e frações parciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, para encontrar a transformada inversa de Laplace, geralmente fazemos a decomposição em frações parciais. Isso significa que vamos escrever $ X(s) $ como a soma de termos mais simples que a gente já sabe a transformada inversa.
Então, precisamos expressar:
X(s)
Onde $ A $, $ B $ e $ C $ são constantes que vamos determinar.

Passo 3

Para encontrar $ A $, $ B $ e $ C $, vamos multiplicar ambos os lados da equação por $ (s + 1)(s - 1)(s + 2) $ para eliminar os denominadores:
A
Agora, escolhemos valores de $ s $ que simplificam a equação:
  1. Se $ s = -1 $:
B
  1. Se $ s = 1 $:
C
  1. Se $ s = -2 $:
(s + 1)(s - 1)(s + 2)

Passo 4

Agora que temos os valores de $ A $, $ B $ e $ C $, podemos reescrever $ X(s) $:
A

Passo 5

Em seguida, vamos lembrar das transformadas inversas básicas:
L^-11s - a = e^at
Aplicando isso a cada termo:
  1. $ \frac{1}{s + 1} $ se torna $ e^{-t} $
  2. $ \frac{-2}{s - 1} $ se torna $ -2e^{t} $
  3. $ \frac{1}{s + 2} $ se torna $ e^{-2t} $

Passo 6

Agora, juntando todas as partes, a transformada inversa $ x(t) $ é:
x(t)

Resposta

A transformada inversa de Laplace é:
x(t) = e^-t - 2e^t + e^-2t

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