Determine a transformada inversa de Laplace (L^-1(F(s))=?)
F(s)=7(s-1)^3+7(s+1)^2-4

Passo 1

Então, galera! A gente tem aqui um exercício de transformada inversa de Laplace. O enunciado nos pede para encontrar L^-1(F(s)), onde F(s) = 7(s-1)^3 + 7(s+1)^2 - 4. Vamos precisar conhecer as fórmulas básicas de transformadas de Laplace e como manipular frações algébricas para aplicar essas fórmulas na resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira parte da função F(s): 7(s-1)^3. A gente sabe que a transformada inversa de 1(s-a)^n é t^n-1(n-1)!e^at. Nesse caso, a = 1 e n = 3. Então, aplicando a fórmula:
L^-1(7(s-1)^3) = 7 cdot t^22! e^t = 72 t^2 e^t

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte da função F(s): 7(s+1)^2 - 4. Primeiro, simplificamos o denominador:
(s+1)^2 - 4 = s^2 + 2s + 1 - 4 = s^2 + 2s - 3
Então, temos:
7s^2 + 2s - 3

Passo 4

Para facilitar a transformada inversa, vamos completar o quadrado no denominador ou fatorar. Vamos factorar:
s^2 + 2s - 3 = (s + 3)(s - 1)
Então, reescrevemos a fração:
7(s + 3)(s - 1)

Passo 5

Agora, aplicamos a fração parcial para simplificar:
7(s + 3)(s - 1) = As + 3 + Bs - 1
Multiplicando ambos os lados por (s + 3)(s - 1):
7 = A(s - 1) + B(s + 3)
Resolvendo para A e B:
Para s = 1:
7 = A(0) + B(4) Rightarrow B = 74
Para s = -3:
7 = A(-4) + B(0) Rightarrow A = -74
Então:
7(s + 3)(s - 1) = -74cdot1s + 3 + 74cdot1s - 1

Passo 6

Agora, aplicamos a transformada inversa a cada termo:
L^-1(-74cdot1s + 3) = -74 e^-3t
L^-1(74cdot1s - 1) = 74 e^t

Passo 7

Juntando tudo, a transformada inversa de F(s) é a soma das transformadas inversas das duas partes que calculamos:
f(t) = 72 t^2 e^t - 74 e^-3t + 74 e^t

Resposta

A transformada inversa de F(s) é:
f(t) = 72 t^2 e^t + 74 e^t - 74 e^-3t

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