Determine a transformada inversa de Laplace
Passo 1
Então, galera! A gente tem aqui um exercício de transformada inversa de Laplace. O enunciado nos pede para encontrar
, onde
. Vamos precisar conhecer as fórmulas básicas de transformadas de Laplace e como manipular frações algébricas para aplicar essas fórmulas na resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira parte da função
:
. A gente sabe que a transformada inversa de
é
. Nesse caso,
e
. Então, aplicando a fórmula:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte da função
:
. Primeiro, simplificamos o denominador:
Então, temos:
Passo 4
Para facilitar a transformada inversa, vamos completar o quadrado no denominador ou fatorar. Vamos factorar:
Então, reescrevemos a fração:
Passo 5
Agora, aplicamos a fração parcial para simplificar:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resolvendo para
e
:
Para
:
Para
:
Então:
Passo 6
Agora, aplicamos a transformada inversa a cada termo:
Passo 7
Juntando tudo, a transformada inversa de
é a soma das transformadas inversas das duas partes que calculamos:
Resposta
A transformada inversa de
é: