Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=11 s^2-2 s+5(s-2)(2 s-1)(s+1)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar
f(t);=;L^-1F(s),
onde
F(s)=11s^2-2s+5(s-2)(2s-1)(s+1)
Conteúdo: transformada inversa de Laplace via decomposição em frações parciais.
O que vamos precisar:
  • Saber que .
  • Conseguir separar em sominha de termos do tipo , , .

Passo 2

Começa a mágica: assumimos
11s^2-2s+5(s-2)(2s-1)(s+1) =As-2+B2s-1+Cs+1
Pra achar 11s^2-2s+5 = A,(2s-1)(s+1);+;B,(s-2)(s+1);+;C,(2s-1)(s-2) , multiplica tudo pelo denominador comum , ficando

Passo 3

Em vez de expandir tudo, a gente faz “método dos valores especiais”:
  1. Coloca 11cdot2^2 -2cdot2 +5 = 44 -4 +5 =45 =A,(2cdot2-1),(2+1)=Acdot3cdot3=9A ;Longrightarrow;A=5 : 11l(tfrac12r)^2 -2cdottfrac12 +5 =tfrac114-1+5=tfrac11+164=tfrac274 =B,( tfrac12-2)(tfrac12+1) =Bl(-tfrac32r)l(tfrac32r) =-tfrac94,B ;Longrightarrow;B=-3
  2. Coloca 11cdot(-1)^2 -2(-1)+5 =11+2+5=18 =C,(2(-1)-1)(-1-2) =Ccdot(-3)cdot(-3)=9C ;Longrightarrow;C=2 : F(s)=5s-2 ;+;-32s-1;+;2s+1
  3. Coloca :
Então

Passo 4

Agora é só lembrar a tabela:
-32s-1 =-32,1s-tfrac12, .
O termo do meio a gente ajusta:
que vira .

Resposta

boxedf(t)=5,e^2t;-;tfrac32,e^tfrac t2;+;2,e^-t

Exercícios relacionados