Suponha que o vetor de estado no instante inicial, de uma partícula dentro de um poço de potencial infinito, seja dado por Psi(x, 0)=raiz32 psi1(x)+12 psi2(x), onde psi1(x) e psi2(x) são as autofunções no estado fundamental e primeiro estado excitado respectivamente.
Que valores podem ser obtidos numa medida de energia no instante t? Quais as respectivas probabilidades?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que, no instante inicial, a função de onda é
Psi(x,0)=raiz32,psi1(x)+12,psi2(x),
onde e são os autofunções do poço de potencial infinito (estados fundamental e primeiro excitado). A matéria envolvida é o postulado de medição em mecânica quântica aplicado ao Hamiltoniano, e a gente vai precisar saber que esses autofunções são autoestados de energia com autovalores , e que a probabilidade de achar a partícula com energia é o quadrado do módulo do coeficiente na expansão.

Passo 2

Primeiro, quais valores de energia podem sair na medida? No poço infinito unidimensional de largura En = n^2pi^2hbar^22mL^2, n=1,2,dots , os autovalores de energia são
E1 = pi^2hbar^22mL^2 e E2 = 4pi^2hbar^22mL^2,
Como só temos componentes em e , os únicos valores possíveis são

Passo 3

Agora, as probabilidades vêm dos coeficientes da expansão:
  • Para P(E1) = |c1|^2 = l|tfracraiz32r|^2 = 34 , o coeficiente é P(E2) = |c2|^2 = l|tfrac12r|^2 = 14 , então
  • Para , o coeficiente é , daí

Passo 4

Um detalhe importante: mesmo que a função de onda evolua no tempo com fatores , as probabilidades não mudam, porque são estados estacionários. Então essas chances valem para qualquer instante .

Resposta

Os valores possíveis de energia são
E1 = pi^2hbar^22mL^2 e E2 = 4pi^2hbar^22mL^2,
com probabilidades
P(E1)=34, P(E2)=14

Exercícios relacionados