Suponha que o vetor de estado no instante inicial, de uma partícula dentro de um poço de potencial infinito, seja dado por , onde e são as autofunções no estado fundamental e primeiro estado excitado respectivamente.
Que valores podem ser obtidos numa medida de energia no instante t? Quais as respectivas probabilidades?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que, no instante inicial, a função de onda é
onde e são os autofunções do poço de potencial infinito (estados fundamental e primeiro excitado). A matéria envolvida é o postulado de medição em mecânica quântica aplicado ao Hamiltoniano, e a gente vai precisar saber que esses autofunções são autoestados de energia com autovalores , e que a probabilidade de achar a partícula com energia é o quadrado do módulo do coeficiente na expansão.
Passo 2
Primeiro, quais valores de energia podem sair na medida? No poço infinito unidimensional de largura , os autovalores de energia são
Como só temos componentes em e , os únicos valores possíveis são
Passo 3
Agora, as probabilidades vêm dos coeficientes da expansão:
Para , o coeficiente é , então
Para , o coeficiente é , daí
Passo 4
Um detalhe importante: mesmo que a função de onda evolua no tempo com fatores , as probabilidades não mudam, porque são estados estacionários. Então essas chances valem para qualquer instante .