Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=s+16 s^2+7 s+2

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra achar a transformada inversa de Laplace
F(s)=s+16s^2+7s+2
ou seja, queremos .
Conteúdo: transformada de Laplace, tabela básica e decomposição em frações parciais.
O que vamos precisar:
  • Fatorar o denominador em dois termos lineares;
  • Decompor em frações parciais;
  • Usar a tabela de transformadas inversas.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o polinômio do denominador:
6s^2+7s+2=(2s+1)(3s+2)
Se não tiver manha sobre fatoração: você procura dois números cujo produto seja e soma seja . Dá 3 e 4, o que leva a reescrever como .

Passo 3

Agora escrevemos
s+1(2s+1)(3s+2) =A2s+1+B3s+2
Multiplicando tudo por s+1=A(3s+2)+B(2s+1) , fica
s+1=(3A+2B),s+(2A+B)
Isso dá a equação em 3A+2B=1, 2A+B=1 :
3A+2(1-2A)=1;Longrightarrow;-A= -1;Longrightarrow;A=1,
Igualando coeficientes:
F(s)=12s+1-13s+2
Da segunda, . Substituindo na primeira:
logo .
Então

Passo 4

Basta usar a tabela inversa:
  • f(t)=12e^-t/2-13e^-2t/3 , porque .
  • , pois .
Combinando e lembrando do sinal menos em :

Resposta

boxedf(t)=12,e^-tfract2 ;-;13,e^-tfrac2t3,

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