Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=27-12 s(s+4)(s^2+9)

Passo 1

Beleza, o que a questão pede é: “A gente tem
F(s)=27-12s(s+4)(s^2+9)
e precisa encontrar , ou seja, a transformada inversa de Laplace de .
Conteúdo: transformada inversa de Laplace, principalmente usando frações parciais.
O que vamos precisar:
  1. Saber como fazer a decomposição em frações parciais;
  2. Ter à mão a tabela básica de transformadas inversas (por exemplo, , , etc.).

Passo 2

Primeiro, a gente faz a decomposição em frações parciais:
27-12s(s+4)(s^2+9) = As+4 + Bs + Cs^2+9
Isso significa que
27 - 12s = A(s^2+9) + (Bs+C)(s+4)
Agora expandimos o lado direito:
A s^2 + 9A + Bs^2 + 4Bs + Cs + 4C = (A+B)s^2 + (4B+C)s + (9A+4C)
E igualamos com o lado esquerdo, cujo polinômio é . Assim obtemos o sistema de equações para os coeficientes:
  1. Coeficiente de :
  2. Coeficiente de :
  3. Termo constante:

Passo 3

Vamos resolver o sistema:
  1. de -12 = 4(-A) + C = -4A + C Longrightarrow C = -12 + 4A vem 27 = 9A + 4(-12 +4A) = 9A -48 +16A = 25A -48 Longrightarrow 25A = 75 Longrightarrow A = 3 .
  2. em B = -A = -3, C = -12 + 4cdot3 = 0 , substituindo 27-12s(s+4)(s^2+9) = 3s+4 ;+; -3s + 0s^2+9 = 3s+4 - 3ss^2+9
  1. em , substituindo
Então
Logo a decomposição é

Passo 4

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
  1. f(t) = 3e^-4t ;-; 3cos(3t) , porque .
  2. , já que .
    Como o segundo termo tinha sinal menos, fica

Resposta

boxedf(t) = 3e^-4t - 3cos(3t)

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