Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=4 s-12s^2+8 s+16

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar a transformada inversa de Laplace de
F(s) = 4s - 12s^2 + 8s + 16
O conteúdo aqui é Transformada Inversa de Laplace: a ideia é voltar do domínio pro domínio do tempo .
O que vamos precisar:
  1. Completar o quadrado no denominador;
  2. Reescrever o numerador de modo que apareça ;
  3. Usar a tabela básica de transformadas inversas:
    • .

Passo 2

Primeiro, completa o quadrado no denominador:
s^2 + 8s + 16 = (s+4)^2
Agora reescreve o numerador 4s - 12 = 4(s+4) - 28, em função de F(s) = 4s - 12(s+4)^2 = 4(s+4) - 28(s+4)^2 = 4(s+4)(s+4)^2 ;-;28(s+4)^2 = 4s+4 ;-; 28(s+4)^2 . Note que
porque e .
Então

Passo 3

Agora aplica a transformada inversa termo a termo:
  1. Para L^-1tfrac4s+4 = 4,e^-4t , temos L^-1tfrac28(s+4)^2 = 28,t,e^-4t
  2. Para , usamos que
    . Logo

Resposta

Juntando os dois pedaços, a transformada inversa é
f(t) = 4,e^-4t ;-; 28,t,e^-4t = e^-4t,l(4 - 28,tr)

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