Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=3 s-14s^2-4 s+8

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente encontrar
f(t)=L^-1F(s), F(s)=3s-14s^2-4s+8
Então o conteúdo é Transformada de Laplace inversa de função racional, e a gente vai precisar de:
1) completar o quadrado no denominador;
2) decompor o numerador em termos de (s-2);
3) usar as fórmulas padrão
L^-1!l[s-a(s-a)^2+b^2r]=e^atcos(bt), L^-1!l[b(s-a)^2+b^2r]=e^atsin(bt)

Passo 2

Primeiro, completo o quadrado no denominador:
s^2-4s+8=(s-2)^2+4
Isso serve pra combinar com as fórmulas acima, que têm a forma (s-a)^2+b^2.

Passo 3

Agora a gente ajusta o numerador para dar algo do tipo A(s-2)+B.
3s-14 = A(s-2)+B = As + (B-2A)
Comparando coeficientes:
A=3, B-2A=-14;Rightarrow;B-6=-14;Rightarrow;B=-8
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F(s) =3s-14(s-2)^2+4 =3,(s-2)-8(s-2)^2+2^2 =3;s-2(s-2)^2+2^2 ;-;8;1(s-2)^2+2^2

Passo 4

Usando as fórmulas de inversa:
  1. Para s-2(s-2)^2+2^2, temos
L^-1!l[tfracs-2(s-2)^2+2^2r] =e^2tcos(2t)
  1. Para 1(s-2)^2+2^2, note que falta o “2” no numerador. Escrevo
1(s-2)^2+2^2 =12,2(s-2)^2+2^2 ;Longrightarrow; L^-1!l[tfrac2(s-2)^2+2^2r] =e^2tsin(2t),
então
L^-1!l[tfrac1(s-2)^2+2^2r] =tfrac12,e^2tsin(2t)
Juntando tudo:
f(t)=3,e^2tcos(2t);-;8l(tfrac12,e^2tsin(2t)r) =3e^2tcos(2t)-4e^2tsin(2t)

Resposta

boxedf(t)=e^2t,l(3cos(2t)-4sin(2t)r)

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