Uma régua tem massa de 50,0 g e comprimento de
. Ela está inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal e sofre uma força impulsiva de
, perpendicular a ela e no ponto situado a 10.0 cm de seu centro. Ache seu movimento subseqüente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma régua que pesa 50,0 g e mede 30,0 cm de comprimento. Ela está parada sobre uma superfície horizontal e recebe uma força impulsiva de 2,0 N·s, perpendicular a ela e aplicada a 10,0 cm do seu centro. O que a gente precisa descobrir é como a régua vai se movimentar depois que essa força agir. Para resolver isso, vamos usar conceitos de impulso e quantidade de movimento, além de torque e momento de inércia para entender a rotação da régua.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é impulso. O impulso é a força aplicada durante um certo tempo e está relacionado à mudança na quantidade de movimento do objeto. A fórmula para o impulso ($ J $) é:
Onde:
- $ J $ é o impulso,
- $ \Delta p $ é a variação da quantidade de movimento,
- $ m $ é a massa,
- $ \Delta v $ é a variação da velocidade.
Como a régua estava inicialmente em repouso, a velocidade inicial ($ v_i
\Delta v
v_f $) após o impacto.
Passo 3
Vamos calcular a velocidade linear da régua após o impulso. Primeiro, convertemos a massa para quilogramas:
Agora, usamos a fórmula do impulso:
Resolvendo para $ v_f $:
Então, a velocidade linear da régua após o impulso é de 40,0 m/s.
Passo 4
Agora, vamos analisar a rotação da régua causada pelo impulso. O torque ($ \tau $) é responsável por essa rotação e é calculado pela fórmula:
Onde:
- $ F $ é a força,
- $ d $ é a distância do ponto de aplicação da força ao centro de massa.
Como temos um impulso, o torque impulsivo ($ \tau \cdot \Delta t
\Delta L $):
Sabemos que:
Onde:
- $ I $ é o momento de inércia,
- $ \omega_f $ é a velocidade angular final.
Para uma régua (um bastão) girando em torno de seu centro, o momento de inércia é:
Substituindo os valores:
Agora, o torque impulsivo é:
Igualando ao momento angular:
Resolvendo para $ \omega_f $:
Então, a velocidade angular da régua após o impulso é de aproximadamente 533,33 rad/s.
Resposta
Após a aplicação da força impulsiva, a régua apresenta uma velocidade linear de 40,0 m/s e uma velocidade angular de aproximadamente 533,33 rad/s, resultando em um movimento combinado de translação e rotação.