A Lua tem movimento de revolução (rotação e translação combinados) em torno da Terra de modo que sempre mostra a mesma face para a Terra. (a) Qual a razão entre os momenta angulares de rotação em torno do seu eixo para o de translação do seu centro de massa em torno da Terra? (b) De quanto o momentum angular de rotação deveria mudar para que pudéssemos ver toda a Lua? Supor a Lua esférica e a sua órbita em torno da Terra circular.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício sobre o movimento da Lua em relação à Terra. A Lua está sempre mostrando a mesma face para a Terra porque está sincronizada: ela gira em torno de seu próprio eixo e, ao mesmo tempo, gira ao redor da Terra, mas esses dois movimentos estão ligados. A gente vai precisar entender um pouco sobre momento angular, que é uma medida de quanto algo está girando. Vamos resolver as duas partes do exercício passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é momento angular. Para um objeto que está girando, como a Lua rotação no próprio eixo, o momento angular de rotação (
) é dado por:
Onde:
-
-
Já para o movimento de translação, que é a Lua girando ao redor da Terra, o momento angular de translação (
) é:
Onde:
-
-
-
Passo 3
Na parte (a) do exercício, a gente quer saber a razão entre os momentos angulares de rotação e translação da Lua. Ou seja:
Para calcular isso, precisamos saber:
- O momento de inércia da Lua. Como a Lua é aproximadamente esférica, o momento de inércia de uma esfera sólida é $ I = \frac{2}{5} m r_{lua}^2 $, onde $ r_{lua} $ é o raio da Lua.
- A velocidade angular de rotação (
Vamos simplificar a razão:
Sabendo que $ v = \omega \cdot r $ (porque a velocidade linear na órbita é igual à velocidade angular vezes o raio), substituímos:
Então, a razão entre os momentos angulares é $ \frac{2}{5} $.
Passo 4
Agora, na parte (b), a gente precisa descobrir quanto o momento angular de rotação da Lua deveria mudar para que possamos ver toda a sua superfície, ou seja, não estar mais sempre com a mesma face voltada para a Terra. Isso significa que a Lua não estaria mais sincronizada: o período de rotação seria diferente do período de translação.
Atualmente, o momento angular de rotação (
) da Lua é $ \frac{2}{5} L_{trans}
\Delta L$) seria tal que
.
Como a razão atual é $ \frac{2}{5} $, para ver toda a Lua, precisaríamos que
(para que a Lua não esteja girando em absoluto) ou que
seja algo totalmente diferente. A mudança necessária seria então:
Se
Resposta
(a) A razão entre o momento angular de rotação da Lua em torno do seu eixo e o momento angular de translação ao redor da Terra é $ \frac{2}{5} $.
(b) Para conseguirmos ver toda a Lua, o momento angular de rotação da Lua precisaria mudar em $ -\frac{2}{5} $ vezes o momento angular de translação atual.