Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=3 s-12s^2+8

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício pede. Ele dá uma função em s:
F(s)=3s-12s^2+8
e quer a transformada inversa de Laplace disso, ou seja, achar f(t) tal que Lf(t)(s)=F(s).
Conteúdo: transformada inversa de Laplace de funções racionais.
O que vamos precisar:
  • Propriedade da linearidade da transformada de Laplace.
  • Fórmulas básicas:
    1. L^-1!ltfracss^2+a^2r(t)=cos(at)
    2. L^-1!ltfracas^2+a^2r(t)=sin(at)
  • Saber reescrever 3s-12 como combinação de termos que casem com essas fórmulas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a fração usando a linearidade. A gente escreve:
3s-12s^2+8 = 3;ss^2+8 ;-;12;1s^2+8
Isso é só tirar fator comum: 3 em cima do s e 12 no segundo termo.

Passo 3

Agora, percebe que s^2+8 = s^2 + (raiz8)^2. Então a = raiz8 = 2raiz2.
  1. Para ss^2+8, usamos L^-1s/(s^2+a^2) = cos(at).
    Aqui a=2raiz2, então L^-1!lss^2+8r(t) = cosl(2raiz2,tr)
  2. Para 1s^2+8, usamos L^-1a/(s^2+a^2) = sin(at).
    Mas no numerador a gente não tem a, tem 1. Então vamos multiplicar e dividir por a: 1s^2+8 = 12raiz2;2raiz2s^2+(2raiz2)^2 Aplicando a fórmula, L^-1!l2raiz2s^2+(2raiz2)^2r(t) = sinl(2raiz2,tr) Então L^-1!l1s^2+8r(t) = 12raiz2,sinl(2raiz2,tr)

Passo 4

Juntando tudo com os fatores 3 e -12:
f(t) = 3;cosl(2raiz2,tr) ;-;12;l[tfrac12raiz2,sinl(2raiz2,tr)r]
Simplifica o segundo termo:
12cdot12raiz2 = 122raiz2 = 6raiz2 = 3raiz2
Logo,
f(t) = 3cosl(2raiz2,tr) ;-; 3raiz2,sinl(2raiz2,tr)

Resposta

boxedf(t) = 3cosl(2raiz2,tr) - 3raiz2,sinl(2raiz2,tr)

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