As questões abaixo se referem ao movimento de uma partícula de massa m dentro de um poço de potencial infinito, definido na região -a / 2.
Calcule a separação relativa entre os níveis de energia, En+1-EnEn em torno do valor En.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma partícula de massa En+1-EnEn presa num poço de potencial infinito que vai de até . Precisamos achar a separação relativa entre níveis de energia, ou seja
O conteúdo aqui é Mecânica Quântica, especificamente o “poço de potencial infinito”. Vamos precisar da fórmula dos níveis de energia desse poço e depois fazer umas contas de diferença e divisão.

Passo 2

Primeiro, a teoria básica: no poço infinito de largura En ;=; n^2pi^2hbar^22m,a^2 , a equação de Schrödinger estacionária leva a soluções que só “cabem” dentro do poço. O resultado padrão é que os níveis de energia são dados por
onde
  • é o número quântico,
  • é a constante de Planck reduzida,
  • é a massa da partícula,
  • e é a largura total do poço (aqui ).

Passo 3

Agora, calcula a diferença entre dois níveis consecutivos:
En+1-En =(n+1)^2pi^2hbar^22m,a^2 -n^2pi^2hbar^22m,a^2 =l((n+1)^2 - n^2r),pi^2hbar^22m,a^2
E En+1-En =(2n+1),pi^2hbar^22m,a^2 . Assim

Passo 4

Por fim, dividimos essa diferença por En+1-EnEn =(2n+1)pi^2hbar^22m,a^2n^2pi^2hbar^22m,a^2 =2n+1n^2 :
2n+1n^2 =2nn^2+1n^2 =2n+1n^2,
Se você quiser, dá pra escrever também como
mas o formato já resolve o problema.

Resposta

boxedEn+1-EnEn ;=;2n+1n^2

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