Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=2 s^2+3(s^2+4)(s+1)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a transformada inversa de Laplace de
.
Isso é do conteúdo de Equações Diferenciais / Transformada de Laplace, e vamos precisar de:
  1. Decompor a função em frações parciais.
  2. Saber as transformadas inversas básicas, tipo
    ,
    ,
    .

Passo 2

Vamos fazer a decomposição em frações parciais. A gente supõe que
2s^2+3(s^2+4)(s+1) = As+1 + Bs + Cs^2+4
Multiplicando tudo pelo denominador 2s^2+3 = A,(s^2+4) + (Bs + C),(s+1) , fica

Passo 3

Agora abrimos e juntamos termos em potências de A,s^2 + 4A ;+; Bs^2 + Bs + Cs + C = (A+B)s^2 + (B+C)s + (4A+C) :
A parte da direita vira
A + B = 2, B + C = 0, 4A + C = 3
Igualamos aos coeficientes de 4A - (2-A) = 3 ;Longrightarrow; 5A =5 ;Longrightarrow; A=1 :
Da segunda equação .
Substituindo em .
E de temos .
Logo
Então e .

Passo 4

Reescrevendo F(s) = 1s+1 + 1cdot s -1s^2+4 = 1s+1 + ss^2+4 - 1s^2+4 :
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
  1. .
  2. .
  3. , então com o sinal menos fica .

Resposta

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