Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=2 s-5s^2-9

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar F(s)=2s-5s^2-9 , ou seja a transformada inversa de Laplace de
O conteúdo aqui é transformada inversa de Laplace, e a chave é usar decomposição em frações parciais e depois mapear cada termo pra sua função no domínio de . A gente vai precisar lembrar que
  • ,
  • e que .

Passo 2

Primeiro, escreve 2s-5(s-3)(s+3)=As-3+Bs+3 em frações parciais:
Isso se chama decomposição em frações parciais; a ideia é achar constantes e que façam essa igualdade valer pra todo .

Passo 3

Multiplica ambos os lados por 2s-5 = A(s+3) + B(s-3) :
F(s)=1/6s-3 + 11/6s+3
Agora, para descobrir e , usa o truque de pôr e :
  • Se : .
  • Se : .
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Passo 4

Agora aplicamos a linearidade da transformada inversa e a tabela básica:
L^-1ltfrac1s-ar = e^at
Então
f(t) = 16,L^-1ltfrac1s-3r + 116,L^-1ltfrac1s+3r = 16e^3t + 116e^-3t

Resposta

f(t) = 16e^3t + 116e^-3t

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