Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=s+1s^2+16 s+28

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos achar a transformada inversa de Laplace de
F(s)=s+1s^2+16s+28
Matéria: transformada inversa de Laplace de funções racionais.
O que vamos precisar:
  1. fatorar o polinômio do denominador,
  2. usar frações parciais,
  3. recordar que .

Passo 2

Primeiro, fatorar o denominador s^2 + 16s + 28 = 0 Longrightarrow s = -16 pm raiz16^2 - 4cdot1cdot282 = -16 pm raiz256 - 1122 = -16 pm 122 .
Calcule as raízes do polinômio:
s^2+16s+28 = (s+2)(s+14)
Isso dá e . Logo

Passo 3

Agora escrevemos
s+1(s+2)(s+14) = As+2 + Bs+14
Isso é o método de frações parciais: a gente quer achar constantes e que tornem a soma igual ao numerador original.

Passo 4

Juntando as frações com denominador comum A(s+14) + B(s+2)(s+2)(s+14) = s+1(s+2)(s+14) , obtemos:
A(s+14) + B(s+2) = s + 1
Então o numerador deve bater:
As + 14A + Bs + 2B = s + 1 Longrightarrow (A+B),s + (14A + 2B) = 1cdot s + 1
Desenvolvendo:
A + B = 1, 14A + 2B = 1
Comparando coeficientes:
14(1-B) + 2B = 1 ;Longrightarrow; 14 -14B + 2B = 1 ;Longrightarrow; -12B = -13 ;Longrightarrow; B = 1312,
Resolvendo: da primeira . Substituindo na segunda:
e daí

Passo 5

Agora a gente tem
F(s) = -112,1s+2 ;+; 1312,1s+14
Lembrando que
L^-1-tfrac112,tfrac1s+2 = -tfrac112e^-2t, L^-1tfrac1312,tfrac1s+14 = tfrac1312e^-14t
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Resposta

f(t) ;=; -112,e^-2t ;+; 1312,e^-14t

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