Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=1s^2+7 s+12

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente achar a transformada inversa de Laplace de
F(s) = 1s^2 + 7s + 12
Isso tá na matéria de Transformada de Laplace, e pra resolver vamos precisar de duas coisas básicas:
  1. fatorar o polinômio do denominador;
  2. usar decomposição em frações parciais;
  3. conhecer a tabela básica

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador s^2 + 7s + 12 = (s + 3)(s + 4) . A gente procura dois números cuja soma é 7 e o produto é 12. São 3 e 4. Logo:
1s^2 + 7s + 12 = 1(s + 3)(s + 4)
Aí reescrevemos
1(s + 3)(s + 4) = As + 3 + Bs + 4
Agora usamos a ideia de frações parciais:

Passo 3

Pra encontrar 1 = A(s + 4) + B(s + 3) e 1 = A(-3 + 4) + Bcdot 0 ;Longrightarrow; 1 = A cdot 1 ;Longrightarrow; A = 1 , a gente escreve
1 = Acdot 0 + B(-4 + 3) ;Longrightarrow; 1 = Bcdot(-1) ;Longrightarrow; B = -1
– Se eu bater F(s) = 1s + 3 - 1s + 4 :
– Se eu bater :
Então

Passo 4

Agora usamos a tabela de transformada inversa. A regra é
L^-1!ltfrac1s + ar = e^-a t, t >= 0
Logo
L^-1!l1s + 3r = e^-3t, L^-1!l1s + 4r = e^-4t

Passo 5

Como f(t) = e^-3t - e^-4t , a transformada inversa é

Resposta

f(t) = e^-3t - e^-4t

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