Suponha que Psi1(x, t) e Psi2(x, t) sejam duas funções de onda de estados estacionários cujas autofunções Psi1(x) e Psi2(x) são reais. Suponha que o estado da partícula seja descrita pela função de onda
Psi(x, t)=a1 Psi1(x, t)+a2 Psi2(x, t)=a1 Psi1(x) exp (-i E1 t / h)+a2 Psi2(x) exp (-i E2 t / h)
Calcule a densidade de probabilidade de modo que sejam explícitas as fases varphi1 e varphi2 das constantes complexas a1 e a2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a densidade de probabilidade da função de onda Psi(x, t), que é uma combinação de duas funções de onda estacionárias Psi1(x, t) e Psi2(x, t). O conteúdo envolvido aqui é a superposição de estados quânticos e como calcular a densidade de probabilidade a partir disso. Para resolver, vamos precisar entender como combinar as funções de onda e aplicar a definição de densidade de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade de probabilidade é dada pelo módulo ao quadrado da função de onda, ou seja, rho(x, t) = |Psi(x, t)|^2. Nossa função de onda está dada por:
Psi(x, t) = a1 Psi1(x) e^-i E1 t / hbar + a2 Psi2(x) e^-i E2 t / hbar
Aqui, a1 e a2 são constantes complexas que podem ser escritas em termos de magnitude e fase: a1 = |a1| e^i varphi1 e a2 = |a2| e^i varphi2.

Passo 3

Vamos calcular |Psi(x, t)|^2. Para isso, multiplicamos a função de onda pelo seu conjugado:
|Psi(x, t)|^2 = Psi(x, t) Psi^*(x, t)
Substituindo Psi(x, t) e seu conjugado:
|Psi(x, t)|^2 = ( a1 Psi1(x) e^-i E1 t / hbar + a2 Psi2(x) e^-i E2 t / hbar ) ( a1^* Psi1(x) e^i E1 t / hbar + a2^* Psi2(x) e^i E2 t / hbar )

Passo 4

Vamos expandir esse produto:
|Psi(x, t)|^2 = |a1|^2 Psi1^2(x) + |a2|^2 Psi2^2(x) + a1 a2^* Psi1(x) Psi2(x) e^-i (E1 - E2) t / hbar + a1^* a2 Psi1(x) Psi2(x) e^i (E1 - E2) t / hbar
Como a1 = |a1| e^i varphi1 e a2 = |a2| e^i varphi2, temos:
a1 a2^* = |a1| |a2| e^i (varphi1 - varphi2)
e
a1^* a2 = |a1| |a2| e^-i (varphi1 - varphi2)
Então, substituindo de volta:
|Psi(x, t)|^2 = |a1|^2 Psi1^2(x) + |a2|^2 Psi2^2(x) + 2 |a1| |a2| Psi1(x) Psi2(x) cos( (varphi1 - varphi2) - (E1 - E2) thbar )

Passo 5

Finalmente, organizando os termos e deixando as fases explícitas:
rho(x, t) = |a1|^2 Psi1^2(x) + |a2|^2 Psi2^2(x) + 2 |a1| |a2| Psi1(x) Psi2(x) cos(varphi1 - varphi2 - (E1 - E2) thbar)

Resposta

A densidade de probabilidade é dada por
rho(x, t) = |a1|^2 Psi1^2(x) + |a2|^2 Psi2^2(x) + 2 |a1| |a2| Psi1(x) Psi2(x) cos(varphi1 - varphi2 - (E1 - E2) thbar)

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