Suponha que
e
sejam duas funções de onda de estados estacionários cujas autofunções
e
são reais. Suponha que o estado da partícula seja descrita pela função de onda
Que condições as constantes complexas
e
devem obedecer para que
seja uma função normalizada? Interprete este resultado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções de onda,
e
, que representam estados estacionários com funções próprias
e
sendo reais. A função de onda total é uma combinação dessas duas, com coeficientes
e
. Nosso objetivo é descobrir quais condições esses coeficientes complexos devem satisfazer para que
seja uma função normalizada. Isso envolve conceitos de funções de onda na mecânica quântica e normalização, que garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função de onda normalizada. Normalizar
significa que a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Matematicamente, temos:
Passo 3
Agora, vamos substituir
pela expressão dada:
Como queremos o módulo ao quadrado, precisamos multiplicar
pelo seu complexo conjugado
:
Passo 4
Calculando o produto:
Passo 5
Expandindo o produto:
Passo 6
Agora, vamos integrar $ |\Psi(x, t)|^{2} $ sobre todo o espaço:
Passo 7
Sabemos que as funções de onda próprias
e
são ortogonais e normalizadas. Isso significa que:
Passo 8
Substituindo essas integrais na equação, temos:
Passo 9
Para que
seja normalizada, essa integral deve ser igual a 1:
Resposta
As constantes complexas
e
devem satisfazer $ |a_{1}|^{2} + |a_{2}|^{2} = 1 $ para que
seja uma função normalizada. Isso significa que a soma dos quadrados dos módulos de
e
deve ser igual a 1, garantindo que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1.