Suponha que Psi1(x, t) e Psi2(x, t) sejam duas funções de onda de estados estacionários cujas autofunções Psi1(x) e Psi2(x) são reais. Suponha que o estado da partícula seja descrita pela função de onda
Psi(x, t)=a1 Psi1(x, t)+a2 Psi2(x, t)=a1 Psi1(x) exp (-i E1 t / h)+a2 Psi2(x) exp (-i E2 t / h)
Que condições as constantes complexas a1 e a2 devem obedecer para que Psi(x, t) seja uma função normalizada? Interprete este resultado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções de onda, Psi1(x, t) e Psi2(x, t), que representam estados estacionários com funções próprias Psi1(x) e Psi2(x) sendo reais. A função de onda total é uma combinação dessas duas, com coeficientes a1 e a2. Nosso objetivo é descobrir quais condições esses coeficientes complexos devem satisfazer para que Psi(x, t) seja uma função normalizada. Isso envolve conceitos de funções de onda na mecânica quântica e normalização, que garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função de onda normalizada. Normalizar Psi(x, t) significa que a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Matematicamente, temos:
integral-infty^infty |Psi(x, t)|^2 dx = 1

Passo 3

Agora, vamos substituir Psi(x, t) pela expressão dada:
Psi(x, t) = a1 Psi1(x) e^-i E1 t / hbar + a2 Psi2(x) e^-i E2 t / hbar
Como queremos o módulo ao quadrado, precisamos multiplicar Psi(x, t) pelo seu complexo conjugado Psi^*(x, t):
|Psi(x, t)|^2 = Psi(x, t) Psi^*(x, t)

Passo 4

Calculando o produto:
|Psi(x, t)|^2 = (a1 Psi1(x) e^-i E1 t / hbar + a2 Psi2(x) e^-i E2 t / hbar) (a1^* Psi1(x) e^i E1 t / hbar + a2^* Psi2(x) e^i E2 t / hbar)

Passo 5

Expandindo o produto:
|Psi(x, t)|^2 = |a1|^2 Psi1^2(x) + |a2|^2 Psi2^2(x) + a1 a2^* Psi1(x) Psi2(x) e^-i (E1 - E2) t / hbar + a1^* a2 Psi1(x) Psi2(x) e^i (E1 - E2) t / hbar

Passo 6

Agora, vamos integrar $ |\Psi(x, t)|^{2} $ sobre todo o espaço:
|Psi(x, t)|^2

Passo 7

Sabemos que as funções de onda próprias Psi1(x) e Psi2(x) são ortogonais e normalizadas. Isso significa que:
integral Psi1^2(x) dx = 1, integral Psi2^2(x) dx = 1
integral Psi1(x) Psi2(x) dx = 0

Passo 8

Substituindo essas integrais na equação, temos:
integral-infty^infty |Psi(x, t)|^2 dx = |a1|^2 cdot 1 + |a2|^2 cdot 1 + a1 a2^* cdot 0 + a1^* a2 cdot 0 = |a1|^2 + |a2|^2

Passo 9

Para que Psi(x, t) seja normalizada, essa integral deve ser igual a 1:
|a1|^2 + |a2|^2 = 1

Resposta

As constantes complexas a1 e a2 devem satisfazer $ |a_{1}|^{2} + |a_{2}|^{2} = 1 $ para que |a1|^2 + |a2|^2 = 1 seja uma função normalizada. Isso significa que a soma dos quadrados dos módulos de Psi(x, t) e a1 deve ser igual a 1, garantindo que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1.

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