Suponha que o vetor de estado no instante inicial, de uma partícula dentro de um poço de potencial infinito, seja dado por Psi(x, 0)=raiz32 psi1(x)+12 psi2(x), onde psi1(x) e psi2(x) são as autofunções no estado fundamental e primeiro estado excitado respectivamente.
Qual é o vetor de estado Psi(x, t) no instante t? Mostre que ele tem norma unitária.

Passo 1

Beleza, vamos resumir: temos uma partícula num poço infinito e, no tempo inicial, seu vetor de estado é
,
onde e são autofunções (estado fundamental e primeiro excitado).
Conteúdo: mecânica quântica – evolução temporal de estados estacionários.
O que precisamos: a regra de evolução temporal de cada autofunção (fatores de fase ) e verificar a normacidade usando ortonormalidade.

Passo 2

Teoria aplicada: em mecânica quântica, cada autofunção estacionária psin(x,t)=psin(x),e^-tfracihbarEn t, evolui como
onde é a energia do nível . Isso vem da equação de Schrödinger dependente do tempo.

Passo 3

Vamos aplicar isso à superposição:
Psi(x,t) =raiz32,psi1(x),e^-tfracihbarE1 t +12,psi2(x),e^-tfracihbarE2 t

Passo 4

Verificando norma unitária:
|Psi(t)|^2 =integral|Psi(x,t)|^2,dx =l|tfracraiz32r|^2 +l|tfrac12r|^2 = tfrac34+tfrac14=1,
porque e são ortonormais e tem módulo 1.

Resposta

Psi(x,t) =raiz32,psi1(x),e^-tfracihbarE1 t +12,psi2(x),e^-tfracihbarE2 t,
e sua norma é 1.

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