Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=s^2-s-1(2 s^2+1)(s+1)^2

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar
F(s) = s^2 - s - 1l(2s^2 + 1r)(s+1)^2 , ou seja, a transformada inversa de Laplace de
Conteúdo: Transformada inversa de Laplace via decomposição em frações parciais.
O que vamos precisar:
  • Saber representar como soma de termos simples (frações parciais).
  • Conhecer as transformadas padrão:
    • ,
    • ,
    • ,
    • .
A partir do próximo passo, vamos partir pra conta da decomposição em frações parciais.

Passo 2

Vamos escrever
s^2 - s - 1(2s^2 + 1)(s+1)^2 = As + B2s^2+1 ;+; Cs+1 ;+; D(s+1)^2
Multiplicando tudo por s^2-s-1 = (As+B)(s+1)^2 + C(2s^2+1)(s+1) + D(2s^2+1) , obtemos
Agora é só expandir e igualar coeficientes em .

Passo 3

Expandindo cada termo:
  1. (A+2C),s^3 + l(2A+B+2C+2Dr),s^2 + l(A+2B+Cr),s + l(B+C+Dr)
  2. 0cdot s^3 + 1cdot s^2 + (-1),s + (-1)
Somando tudo dá
Isso tem que ser igual a

Passo 4

Montamos o sistema de equações:
A + 2C = 0, 2A + B + 2C + 2D = 1, A + 2B + C = -1, B + C + D = -1
Resolvendo (substituindo A = tfrac109, B = -tfrac79, C = -tfrac59, D = tfrac13 etc.), achamos:

Passo 5

Reescrevendo a decomposição:
F(s) = tfrac109,s - tfrac792s^2+1 ;-;5/9s+1 ;+;1/3(s+1)^2
Agora vamos inverter cada pedacinho:
  1. Para 2s^2+1 = 2l(s^2 + tfrac12r), : note que
10/9,s2s^2+1 = 109,12,ss^2+tfrac12 = 59,ss^2 + (1/raiz2)^2 Longrightarrow 59cos!l(tfractraiz2r)
então
-7/92s^2+1 = -79,12,1s^2+tfrac12 = -718,1s^2+(1/raiz2)^2 = -718,raiz2,sin!l(tfractraiz2r)
  1. Para :
  1. inverte para
  2. inverte para

Resposta

Juntando tudo, a transformada inversa é
boxed f(t) = 59,cos!l(tfractraiz2r) - 7raiz218,sin!l(tfractraiz2r) - 59,e^-t + 13,t,e^-t

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