Determine
, isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente achar
, ou seja, a transformada inversa de Laplace de
Conteúdo: Transformada inversa de Laplace via decomposição em frações parciais.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Saber representar
como soma de termos simples (frações parciais). - Conhecer as transformadas padrão:
-
, -
, -
, -
.
-
A partir do próximo passo, vamos partir pra conta da decomposição em frações parciais.
Passo 2
Vamos escrever
Multiplicando tudo por
, obtemos
Agora é só expandir e igualar coeficientes em
.
Passo 3
Expandindo cada termo:
Somando tudo dá
Isso tem que ser igual a
Passo 4
Montamos o sistema de equações:
Resolvendo (substituindo
A = tfrac109, B = -tfrac79, C = -tfrac59, D = tfrac13 etc.), achamos:
Passo 5
Reescrevendo a decomposição:
Agora vamos inverter cada pedacinho:
- Para
: note que2s^2+1 = 2l(s^2 + tfrac12r),
então
- Para
:
-
inverte para -
inverte para
Resposta
Juntando tudo, a transformada inversa é