Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=s+1s^2+s+1

Passo 1

Beleza, a questão tá assim: “Determine F(s)=s+1s^2+s+1 , ou seja a transformada inversa de Laplace de
O assunto aqui é Transformada de Laplace (inversa), em particular usar completamento de quadrado e as fórmulas-padrão de inversão. Para resolver, a gente vai precisar:
  • Completar o quadrado no denominador.
  • Separar o numerador de um jeito que a gente encaixe nas fórmulas de e .

Passo 2

Primeiro, completa o quadrado em s^2+s+1 = s^2 + s + tfrac14 ;+; 1 - tfrac14 = l(s+tfrac12r)^2 + tfrac34 :
s^2+s+1 = (s+tfrac12)^2 + l(tfracraiz32r)^2
Então dá pra escrever

Passo 3

Agora a gente ajeita o numerador s+1 = l(s+tfrac12r) + tfrac12 para “caber” com F(s) = s+1s^2+s+1 = (s+tfrac12)+tfrac12(s+tfrac12)^2+(tfracraiz32)^2 = s+tfrac12(s+tfrac12)^2+(tfracraiz32)^2 ;+; tfrac12(s+tfrac12)^2+(tfracraiz32)^2 . Repara que
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Passo 4

Lembra das duas fórmulas-padrão de inversa:
  1. e^-tfrac12 tcos!l(tfracraiz32tr)
  2. tfrac12(s+tfrac12)^2+(tfracraiz32)^2 = tfrac12tfracraiz32;tfracraiz32(s+tfrac12)^2+(tfracraiz32)^2 = 1raiz3;tfracraiz32(s+tfrac12)^2+(tfracraiz32)^2
Aqui 1raiz3;e^-tfrac12 tsin!l(tfracraiz32tr) e . Então
  • A primeira parte vira
  • A segunda parte tem no numerador, mas na fórmula padrão a gente precisa de . Então ajusta assim: E isso inverte pra

Resposta

Somando as duas partes, a transformada inversa é
boxed f(t) = e^-tfrac12 t,cos!l(tfracraiz32tr) ;+; 1raiz3;e^-tfrac12 t,sin!l(tfracraiz32tr)

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