Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=s+1(s+3)(s^2+2 s+2)

Passo 1

Tranquilo, o exercício é: “Determinar F(s)=s+1(s+3),(s^2+2s+2) , a transformada inversa de Laplace de
Isso cai em “Transformada de Laplace” e “Frações parciais”. A gente vai precisar:
  1. Decompor em frações parciais;
  2. Completar o quadrado no denominador ;
  3. Usar tabela de inversa de Laplace (ex.: , , etc.).

Passo 2

Começa a decompor em frações parciais:
s+1(s+3)(s^2+2s+2) =As+3+Bs+Cs^2+2s+2
Multiplicando tudo por s+1 = A(s^2+2s+2) + (Bs+C)(s+3) , dá

Passo 3

Expandindo e coletando em potências de s+1 = (A+B)s^2 + (2A+3B+C)s + (2A+3C) :
2A +3(-A)+C=1implies -A + C=1implies C=A+1
Comparando coeficientes:
  1. 2A+3C=1implies 2A+3(A+1)=1implies5A+3=1implies A=-tfrac25 : A=-tfrac25, B=-A=tfrac25, C=A+1= -tfrac25+1=tfrac35 .
  2. : .
  3. : .
    Substituindo na equação 2:
Da 3:
Logo

Passo 4

Reescreve F(s) =-tfrac251s+3 +25 s + 35(s+1)^2+1 com esses valores e completa o quadrado em 25s+35 =25(s+1)+15 :
F(s) =-tfrac251s+3 +2/5,(s+1)(s+1)^2+1 +1/5(s+1)^2+1
No numerador , a gente escreve :
Então

Passo 5

Aplica a transformada inversa termo a termo:
  1. f(t) =-tfrac25,e^-3t +tfrac25,e^-tcos t +tfrac15,e^-tsin t .
  2. .

  3. Logo

Resposta

.

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