Resolver as equações diferenciais ou íntegro-diferenciais pela transformada de Laplace, para t >= 0.
5 d id t+5 i=10, i(0)=-2

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa resolver, para 5didt + 5,i = 10, i(0) = -2 , a equação diferencial
Conteúdo: Equações diferenciais de 1ª ordem e Transformada de Laplace.
O que vamos usar:
• Definição e propriedades da Transformada de Laplace (especialmente da derivada).
• Tabelas básicas: , .
• Técnica de frações parciais para inverter a transformada.

Passo 2

Aplicar a Transformada de Laplace nos dois lados da equação. Lembrando que
Lldidtr = sI(s) - i(0),
onde 5l[sI(s)-i(0)r] + 5,I(s) = L10 = 10s . Então:
5l[sI(s)+2r] + 5I(s) = 10s
Substituindo :

Passo 3

Agora a gente junta termos em 5sI(s) +10 +5I(s) = 10s Longrightarrow I(s),(5s+5) = 10s -10 :
I(s) = -10(s-1)s,(5s+5) = -10(s-1)5s(s+1) = -2;s-1s(s+1)
Escrevendo , fica

Passo 4

Fazendo frações parciais em s-1s(s+1) = As + Bs+1, :
s-1 = A(s+1) + B,s = (A+B)s + A
onde
A + B = 1, A = -1 ;Longrightarrow; A=-1,;B=2
Igualando coeficientes:
I(s) = -2l(-1s + 2s+1r) = 2s - 4s+1
Logo

Passo 5

Aplicando a transformada inversa termo a termo:
L^-1l2sr = 2, L^-1l4s+1r = 4,e^-t
Como na expressão está i(t) = 2 - 4,e^-t , temos

Resposta

boxedi(t) = 2 - 4,e^-t

Exercícios relacionados