Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=ss^2+4 s+8

Passo 1

Beleza, aqui a gente quer achar a transformada inversa de Laplace de
F(s)=ss^2+4s+8,
Isso faz parte da matéria de Transformada de Laplace, e vamos precisar:
- Completar o quadrado no denominador.
- Decompor a fração em termos que reconheçamos da tabela de transformadas inversas (cos, sin, exponenciais).

Passo 2

Primeiro, completa o quadrado em s^2+4s+8:
s^2+4s+8 = (s+2)^2 +8-4 = (s+2)^2+4,
Ou seja, nosso F(s) vira
F(s)=s(s+2)^2+4,

Passo 3

Agora escreve s como (s+2)-2, pra separar em duas frações:
$$\frac{s}{(s+2)^{2}+4} = \frac{(s+2)-2}{(s+2)^{2}+4}
= \frac{s+2}{(s+2)^{2}+4} ;-;\frac{2}{(s+2)^{2}+4},. $$

Passo 4

A gente lembra da tabela:
  • L^-1!s+a(s+a)^2+b^2(t)=e^-atcos(bt).
  • L^-1!b(s+a)^2+b^2(t)=e^-atsin(bt).
    Aqui a=2, b=2. Então:
  1. s+2(s+2)^2+4 vira e^-2tcos(2t).
  2. 2(s+2)^2+4 vira e^-2tsin(2t).

Resposta

Juntando tudo:
f(t) = e^-2tcos(2t);-;e^-2tsin(2t),

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