Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=s+5s^2+4 s+8

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede pra gente achar a transformada inversa de Laplace
F(s)=s+5s^2+4s+8,,
ou seja, encontrar .
Isso é assunto de Transformada de Laplace e vamos precisar:
1. Completar o quadrado no denominador;
2. Separar em frações que casem com as fórmulas padrões de inversa (cos, sin com decaimento exponencial);
3. Usar a tabela básica
-
- .

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador:
s^2 + 4s + 8 = (s^2 + 4s + 4) + 4 = (s+2)^2 + 2^2
Então
F(s)=s+5(s+2)^2+2^2

Passo 3

A gente precisa separar o numerador para pegar as duas partes que conhecemos da tabela. Escreve
s+5 = (s+2) + 3,
de modo que
F(s) =(s+2)+3(s+2)^2+2^2 =s+2(s+2)^2+2^2 ;+;3(s+2)^2+2^2

Passo 4

Agora usamos as fórmulas:
  1. f(t) = e^-2tcos(2t);+;32,e^-2tsin(2t)
  2. Para a segunda parte, notamos que

    e pela tabela

    Então isso dá .
Somando as duas partes:

Resposta

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