Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=s^2+7 s+12(s+2)(s+4)(s+6)

Passo 1

Beleza, então o problema pede pra gente achar
F(s)=s^2+7s+12(s+2)(s+4)(s+6) , ou seja, a transformada inversa de Laplace de
Conteúdo envolvido: decomposição em frações parciais e uso das transformadas inversas básicas
.

Passo 2

Primeiro a gente faz a decomposição em frações parciais:
s^2+7s+12(s+2)(s+4)(s+6) =As+2+Bs+4+Cs+6
Multiplicando tudo por s^2+7s+12 = A(s+4)(s+6)+B(s+2)(s+6)+C(s+2)(s+4) , dá
(-2)^2+7(-2)+12=4-14+12=2 Longrightarrow Acdot((-2)+4)((-2)+6)=Acdot2cdot4=8A ;Rightarrow;A=28=tfrac14
Agora, pra achar 16-28+12=0 Longrightarrow Bcdot((-4)+2)((-4)+6)=Bcdot(-2)cdot2=-4B ;Rightarrow;0=-4B;Rightarrow;B=0 de um jeito rápido, basta usar valores especiais de 36-42+12=6 Longrightarrow Ccdot((-6)+2)((-6)+4)=Ccdot(-4)cdot(-2)=8C ;Rightarrow;C=68=tfrac34 :
  • Para F(s)=1/4s+2+0s+4+3/4s+6 =141s+2+341s+6 :
  • Para :
  • Para :
Então

Passo 3

Agora aplicamos a transformada inversa de Laplace nas parcelas separadas:
L^-11s+2=e^-2t, L^-11s+6=e^-6t
Pela linearidade,
f(t)=14,e^-2t+34,e^-6t

Resposta

boxedf(t)=14e^-2t+34e^-6t

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