Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=s+4s^2-10 s+34

Passo 1

Beleza, mano! A questão pede para a gente achar a inversa da transformada de Laplace
F(s)=s+4s^2-10s+34
Ou seja, determinar tal que .
Esse assunto é do módulo de Transformada de Laplace, e vamos precisar:
  • Completar o quadrado no denominador.
  • Saber as fórmulas básicas de transformada de Laplace de e .

Passo 2

Primeiro, completa o quadrado no denominador:
s^2-10s+34 = l(s^2-10s+25r)+9 = (s-5)^2+3^2
Isso ajusta o quadrado para o formato , que é o padrão das fórmulas de seno e cosseno.

Passo 3

Agora a gente quer escrever o numerador s+4 = l(s-5r) + 9 em termos de F(s) = (s-5)+9(s-5)^2+3^2 = s-5(s-5)^2+3^2 ;+;9(s-5)^2+3^2 e uma constante, pra bater com o que a gente conhece. Note que
Então

Passo 4

Lembra as fórmulas:
Le^atcos(bt) =s-a(s-a)^2+b^2, Le^atsin(bt) =b(s-a)^2+b^2
Aqui e . Logo:
  1. vira .
  2. vira .

Resposta

boxedf(t) = e^5tcos(3t) ;+; 3,e^5tsin(3t)

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