Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=2s^3+4 s^2+4 s

Passo 1

Beleza! O enunciado pede pra gente encontrar a função F(s) = 2s^3 + 4s^2 + 4s cuja transformada de Laplace é
Isso cai em capítulo de transformada de Laplace inversa, e o truque principal que vamos usar é:
  1. fatorar o denominador;
  2. quebrar em frações parciais;
  3. usar tabela básica de transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, fatorando o denominador:
s^3 + 4s^2 + 4s = s,(s^2 + 4s + 4) = s,(s+2)^2
Então a nossa função fica
F(s) = 2s,(s+2)^2

Passo 3

Agora a parte de frações parciais. A ideia é escrever
2s,(s+2)^2 = As + Bs+2 + C(s+2)^2
Multiplicando tudo por 2 = A,(s+2)^2 ;+; B,s,(s+2) ;+; C,s , dá
2 = A,(s^2+4s+4) + B,(s^2+2s) + C,s
Vamos expandir e agrupar em potências de F(s) = 1/2s ;+; -1/2s+2 ;+; -1(s+2)^2 :
  1. ,
  2. .
Logo,
Juntando coeficientes de e termo constante:
  • Coeficiente de : .
  • Coeficiente de : .
  • Constante: .
Como o lado esquerdo é apenas “2” (ou seja, ), igualamos cada coeficiente:
Da terceira equação vem .
Da primeira, .
Da segunda, .
Então

Passo 4

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, lembrando que:
  • f(t) = 12cdot 1 ;-;12,e^-2t ;-;1cdotl(t,e^-2tr) ,
  • ,
Então

Resposta

boxedf(t) = 12 ;-; 12,e^-2t ;-; t,e^-2t

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