Determine
, isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
Passo 1
Beleza! O enunciado pede pra gente encontrar a função
cuja transformada de Laplace é
Isso cai em capítulo de transformada de Laplace inversa, e o truque principal que vamos usar é:
- fatorar o denominador;
- quebrar em frações parciais;
- usar tabela básica de transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, fatorando o denominador:
Então a nossa função fica
Passo 3
Agora a parte de frações parciais. A ideia é escrever
Multiplicando tudo por
, dá
Vamos expandir e agrupar em potências de
:
-
, -
.
Logo,
Juntando coeficientes de
e termo constante:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Constante:
.
Como o lado esquerdo é apenas “2” (ou seja,
), igualamos cada coeficiente:
Da terceira equação vem
.
Da primeira, .
Da segunda, ⇒
⇒
.
Da primeira,
Da segunda,
Então
Passo 4
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, lembrando que:
-
, -
, -
Então