Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=s+10s^2+10 s+24

Passo 1

Então, o enunciado pede para a gente achar a transformada inversa de Laplace da função racional
F(s)=s+10s^2+10s+24
Isso faz parte do conteúdo de transformada de Laplace e, em especial, da técnica de frações parciais para inverter transformadas. Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Factorar o denominador em termos lineares.
  2. Decompor a função em frações simples (frações parciais).
  3. Aplicar tabela básica de transformada inversa de Laplace em cada fração.

Passo 2

Primeiro, bora fatorar o denominador s^2+10s+24 = (s+4)(s+6) . A gente procura dois números que multiplicados deem 24 e somados deem 10. Esses números são 4 e 6. Então

Passo 3

Agora a gente escreve s+10(s+4)(s+6) = As+4 + Bs+6 em frações parciais:
s+10 = A(s+6) + B(s+4)
Multiplicando ambos os lados por s+10 = (A+B),s + (6A+4B) , fica
A + B = 1, 6A + 4B = 10
Distribuindo:
6A + 4(1-A) = 10 Longrightarrow 6A + 4 - 4A = 10 Longrightarrow 2A = 6 Longrightarrow A = 3
Comparando coeficientes de F(s) = 3s+4 ;-;2s+6 e termo independente, obtemos o sistema
Da primeira equação . Substituindo na segunda:
Logo . Então

Passo 4

Lembra que a transformada inversa de L^-1tfrac3s+4 = 3e^-4t, L^-1tfrac-2s+6 = -2e^-6t é . Usando isso:
Somando os dois resultados, a resposta final fica:

Resposta

f(t) = 3e^-4t ;-;2e^-6t

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