Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=3s(s^2+6 s+9)

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente achar a transformada inversa de Laplace da função
F(s) ;=; 3sl(s^2+6s+9r)
Isso faz parte do conteúdo de Transformada de Laplace (e sua inversa), e a principal técnica que vamos usar é a decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, repara que
s^2 + 6s + 9 = (s+3)^2
Então dá pra reescrever
F(s) = 3s,(s+3)^2
Também precisamos lembrar as transformadas inversas básicas:
  • ,
  • ,

Passo 3

Agora vamos decompor 3s,(s+3)^2 ;=; As ;+; Bs+3 ;+; C(s+3)^2 em parcelas menores do tipo .
Ou seja, supomos:

Passo 4

Multiplica tudo por 3 = A,(s+3)^2 ;+; B,s,(s+3) ;+; C,s para achar A(s^2+6s+9) + B(s^2+3s) + C,s = (A+B),s^2 + (6A+3B+C),s + 9A :
Expande:
Como isso tem que ser igual ao polinômio constante , com , igualamos coeficientes:
  1. : 
  2. : 
  3. termo constante:  .

Passo 5

Da eq. 3 vem 6!l(tfrac13r) + 3!l(-tfrac13r) + C =0 ;;Longrightarrow;; 2 -1 + C =0 ;;Longrightarrow;; C = -1 .
Da eq. 1, .
Na eq. 2 fica

Passo 6

Então a decomposição final é
3s(s+3)^2 = 1/3s ;-;1/3s+3;-;1(s+3)^2
Basta agora aplicar a transformada inversa a cada pedacinho:
  • ,
  • ,

Resposta

boxed f(t) ;=; 13 ;-;13,e^-3t;-;t,e^-3t

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