Determine
, isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente achar a transformada inversa de Laplace da função
Isso faz parte do conteúdo de Transformada de Laplace (e sua inversa), e a principal técnica que vamos usar é a decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, repara que
Então dá pra reescrever
Também precisamos lembrar as transformadas inversas básicas:
- ,
- ,
Passo 3
Agora vamos decompor
em parcelas menores do tipo
.
Ou seja, supomos:
Ou seja, supomos:
Passo 4
Multiplica tudo por
para achar
:
Expande:
Como isso tem que ser igual ao polinômio constante
, com
, igualamos coeficientes:
-
: -
: - termo constante:
.
Passo 5
Da eq. 3 vem
.
Da eq. 1, .
Na eq. 2 fica
Da eq. 1,
Na eq. 2 fica
Passo 6
Então a decomposição final é
Basta agora aplicar a transformada inversa a cada pedacinho:
- ,
- ,