Determine
, isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar a transformada inversa de Laplace de
Isso é conteúdo de Equações Diferenciais / Transformada de Laplace: a ideia é usar frações parciais pra reescrever
em termos de funções que a gente já conhece na tabela de transformadas. A gente vai precisar de:
- Saber fatorar polinômios.
- Saber decompor frações em frações parciais.
- Conhecer que
.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. A gente procura duas raízes que multiplicadas dêem
e somadas dêem
. São
e
. Logo
Passo 3
Agora escrevemos
Pra achar
e
, somamos as frações do lado direito:
Como isso tem que dar
, a gente iguala numeradores:
Passo 4
Desenvolvendo e igualando coeficientes de
e constantes, fica:
Logo o sistema é
Resolvendo: da primeira
. Substituindo na segunda:
Então
Passo 5
Agora reescrevemos
:
Aí basta usar a tabela de transformadas inversas: