Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=s-4s^2+5 s-6

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a transformada inversa de Laplace de
F(s) = s - 4s^2 + 5s - 6
Isso é conteúdo de Equações Diferenciais / Transformada de Laplace: a ideia é usar frações parciais pra reescrever em termos de funções que a gente já conhece na tabela de transformadas. A gente vai precisar de:
  • Saber fatorar polinômios.
  • Saber decompor frações em frações parciais.
  • Conhecer que .

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador s^2 + 5s - 6 = (s - 1)(s + 6) . A gente procura duas raízes que multiplicadas dêem e somadas dêem . São e . Logo

Passo 3

Agora escrevemos
s - 4(s - 1)(s + 6) = As - 1 + Bs + 6
Pra achar As - 1 + Bs + 6 = A(s + 6) + B(s - 1)(s - 1)(s + 6) e A(s + 6) + B(s - 1) = s - 4 , somamos as frações do lado direito:
Como isso tem que dar , a gente iguala numeradores:

Passo 4

Desenvolvendo e igualando coeficientes de (A + B),s + (6A - B) = 1cdot s + (-4) e constantes, fica:
A + B = 1, 6A - B = -4
Logo o sistema é
6A - (1 - A) = -4 ;Longrightarrow; 6A - 1 + A = -4 ;Longrightarrow; 7A = -3 ;Longrightarrow; A = -tfrac37
Resolvendo: da primeira . Substituindo na segunda:
Então

Passo 5

Agora reescrevemos F(s) = -37,1s - 1 + 107,1s + 6 :
L^-1!ltfrac1s - 1r = e^1cdot t = e^t, L^-1!ltfrac1s + 6r = e^-6t
Aí basta usar a tabela de transformadas inversas:

Resposta

boxedf(t) ;=; -37,e^t;+;107,e^-6t, t >= 0

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