Determine
, isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
Passo 1
O enunciado nos dá a função racional no domínio de Laplace
e pede para determinar
, isto é, a transformada inversa de Laplace de
: encontrar
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Numerador:
. - Denominador:
. - A resposta deverá ser uma função
em termos de (normalmente envolvendo exponenciais e possivelmente polinômios em ).
Passo 2
Observação útil (como começar): para inverter transformadas racionais costuma-se reescrever o denominador de forma conveniente (por exemplo, completando quadrado ou fatorando) e decompor
em termos cuja transformada inversa seja conhecida (como
e
).
Vamos reescrever o denominador completando o quadrado. Primeiro fatoramos o
:
Agora reconhecemos que
portanto
Passo 3
Substituímos essa forma do denominador em
:
Para aplicar transformadas conhecidas é conveniente escrever o numerador em função de
. Procuramos constantes
e
tais que
Desenvolvendo o lado direito:
Comparando coeficientes com
obtemos
(coeficiente de
) e então
Logo
Passo 4
Substituindo essa decomposição em
e separando termos:
Explicação das transformadas inversas que vamos usar (fórmulas importantes):
- A transformada de Laplace de
é (para ). Portanto
- A transformada de Laplace de
é . Portanto
Essas duas fórmulas vêm da propriedade geral
(aqui
e
).
Passo 5
Aplicando as transformadas inversas termo a termo (linearidade da transformada inversa):
- Para o primeiro termo
a inversa é . - Para o segundo termo
a inversa é .
Portanto os termos intermediários obtidos por inversão são exatamente esses (a combinação deles dará a função
).
Passo 6
Pode-se checar revertendo: aplicando a transformada de Laplace em
obtemos
que, ao colocar sobre o mesmo denominador
, devolve
, ou seja, recupera
. Isso confirma a coerência do resultado.