Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=\frac{3 s+2}{4 s^{2}+12 s+9}

Passo 1

O enunciado nos dá a função racional no domínio de Laplace
F(s)=\frac{3s+2}{4s^{2}+12s+9}
e pede para determinar f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de F(s): encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Numerador: 3s+2.
  • Denominador: 4s^{2}+12s+9.
  • A resposta deverá ser uma função f(t) em termos de t (normalmente envolvendo exponenciais e possivelmente polinômios em t).

Passo 2

Observação útil (como começar): para inverter transformadas racionais costuma-se reescrever o denominador de forma conveniente (por exemplo, completando quadrado ou fatorando) e decompor F(s) em termos cuja transformada inversa seja conhecida (como \tfrac{1}{s+a} e \tfrac{1}{(s+a)^{2}}).
Vamos reescrever o denominador completando o quadrado. Primeiro fatoramos o 4:
4s^{2}+12s+9 = 4\left(s^{2}+3s+\frac{9}{4}\right).
Agora reconhecemos que
s^{2}+3s+\frac{9}{4}=\left(s+\frac{3}{2}\right)^{2},
portanto
4s^{2}+12s+9 = 4\left(s+\frac{3}{2}\right)^{2}.

Passo 3

Substituímos essa forma do denominador em F(s):
F(s)=\frac{3s+2}{4\left(s+\frac{3}{2}\right)^{2}}.
Para aplicar transformadas conhecidas é conveniente escrever o numerador em função de \left(s+\dfrac{3}{2}\right). Procuramos constantes A e B tais que
3s+2 = A\left(s+\frac{3}{2}\right) + B.
Desenvolvendo o lado direito:
A\left(s+\frac{3}{2}\right)+B = As + \frac{3A}{2} + B.
Comparando coeficientes com 3s+2 obtemos A=3 (coeficiente de s) e então
\frac{3A}{2}+B = \frac{9}{2} + B = 2 \quad\Rightarrow\quad B = 2 - \frac{9}{2} = -\frac{5}{2}.
Logo
3s+2 = 3\left(s+\frac{3}{2}\right) - \frac{5}{2}.

Passo 4

Substituindo essa decomposição em F(s) e separando termos:
F(s)=\frac{3\left(s+\tfrac{3}{2}\right) - \tfrac{5}{2}}{4\left(s+\tfrac{3}{2}\right)^{2}} = \frac{3}{4}\cdot\frac{1}{s+\tfrac{3}{2}} - \frac{5}{8}\cdot\frac{1}{\left(s+\tfrac{3}{2}\right)^{2}}.
Explicação das transformadas inversas que vamos usar (fórmulas importantes):
  • A transformada de Laplace de e^{-at} é \displaystyle \mathcal{L}\{e^{-at}\}=\frac{1}{s+a} (para \Re(s)>-a). Portanto
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+a}\right\}=e^{-at}.
  • A transformada de Laplace de t\,e^{-at} é \displaystyle \mathcal{L}\{t\,e^{-at}\}=\frac{1}{(s+a)^{2}}. Portanto
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+a)^{2}}\right\}=t\,e^{-at}.
Essas duas fórmulas vêm da propriedade geral \mathcal{L}\{t^{n}e^{-at}\}=\dfrac{n!}{(s+a)^{n+1}} (aqui n=0 e n=1).

Passo 5

Aplicando as transformadas inversas termo a termo (linearidade da transformada inversa):
  • Para o primeiro termo \dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{s+\tfrac{3}{2}} a inversa é \dfrac{3}{4}e^{-\tfrac{3}{2}t}.
  • Para o segundo termo -\dfrac{5}{8}\cdot\dfrac{1}{(s+\tfrac{3}{2})^{2}} a inversa é -\dfrac{5}{8}t\,e^{-\tfrac{3}{2}t}.
Portanto os termos intermediários obtidos por inversão são exatamente esses (a combinação deles dará a função f(t)).

Passo 6

Pode-se checar revertendo: aplicando a transformada de Laplace em \dfrac{3}{4}e^{-\tfrac{3}{2}t} - \dfrac{5}{8}t e^{-\tfrac{3}{2}t} obtemos
\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{s+\tfrac{3}{2}} - \frac{5}{8}\cdot\frac{1}{(s+\tfrac{3}{2})^{2}},
que, ao colocar sobre o mesmo denominador 4\left(s+\tfrac{3}{2}\right)^{2}, devolve \dfrac{3s+2}{4s^{2}+12s+9}, ou seja, recupera F(s). Isso confirma a coerência do resultado.

Resposta

f(t)=\frac{3}{4}e^{-\tfrac{3}{2}t}-\frac{5}{8}\,t\,e^{-\tfrac{3}{2}t}

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