Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=\frac{5 s-2}{3 s^{2}+4 s+8}

Passo 1

O enunciado pede determinar f(t), ou seja a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{5 s-2}{3 s^{2}+4 s+8}.
Informações dadas:
  • A função F(s) é uma função racional em s.
  • O objetivo é encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.

Passo 2

Plano de ataque (explicado como se estivéssemos na prova, passo a passo):
  • Para obter inversa de Laplace de uma razão com denominador quadrático, é conveniente completar o quadrado no denominador para identificar termos do tipo s^2+b^2 deslocados.
  • Depois de completar o quadrado, faremos a substituição u=s+a para deixar o denominador na forma u^{2}+a^{2}. Isso permite usar as formas padrão: \mathcal{L}\{\cos(bt)\}=\frac{s}{s^{2}+b^{2}},\qquad \mathcal{L}\{\sin(bt)\}=\frac{b}{s^{2}+b^{2}}.
  • Se aparecer um deslocamento s+a em F(s), usaremos o teorema do deslocamento: se \mathcal{L}\{g(t)\}=G(s) então \mathcal{L}\{e^{-a t}g(t)\}=G(s+a). Inversamente, \mathcal{L}^{-1}\{G(s+a)\}=e^{-a t}g(t).

Passo 3

Completar o quadrado no denominador. Começo fatorando 3:
3 s^{2}+4 s+8=3\Bigl(s^{2}+\frac{4}{3}s+\frac{8}{3}\Bigr).
Complete o quadrado dentro do parêntese:
s^{2}+\frac{4}{3}s=\Bigl(s+\frac{2}{3}\Bigr)^{2}-\frac{4}{9}.
Portanto
s^{2}+\frac{4}{3}s+\frac{8}{3}=\Bigl(s+\frac{2}{3}\Bigr)^{2}-\frac{4}{9}+\frac{8}{3} =\Bigl(s+\frac{2}{3}\Bigr)^{2}+\frac{20}{9}.
Multiplicando por 3:
3 s^{2}+4 s+8=3\Bigl[\Bigl(s+\frac{2}{3}\Bigr)^{2}+\frac{20}{9}\Bigr].
Definindo
u=s+\frac{2}{3}, \qquad a=\sqrt{\frac{20}{9}}=\frac{2\sqrt{5}}{3},
temos
3 s^{2}+4 s+8=3\bigl(u^{2}+a^{2}\bigr).

Passo 4

Reescrever o numerador em função de u. Como s=u-\dfrac{2}{3},
5s-2=5\Bigl(u-\frac{2}{3}\Bigr)-2=5u-\frac{10}{3}-2=5u-\frac{16}{3}.
Logo
F(s)=\frac{5s-2}{3s^{2}+4s+8} =\frac{5u-\dfrac{16}{3}}{3\bigl(u^{2}+a^{2}\bigr)} =\frac{1}{3}\cdot\frac{5u-\dfrac{16}{3}}{u^{2}+a^{2}}.

Passo 5

Separar em frações que correspondam às transformadas conhecidas. Escrevendo explicitamente:
F(s)=\frac{5}{3}\cdot\frac{u}{u^{2}+a^{2}}-\frac{16}{9}\cdot\frac{1}{u^{2}+a^{2}}.
Lembre-se das transformadas padrões (onde aqui a variável de \mathcal{L} é u, mas isso corresponde a s quando aplicamos a inversa):
\mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{u}{u^{2}+a^{2}},\qquad \mathcal{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{u^{2}+a^{2}}.
Da segunda relação, obtemos
\frac{1}{u^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\cdot\frac{a}{u^{2}+a^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{u^{2}+a^{2}}\Bigr\}=\frac{1}{a}\sin(at).

Passo 6

Aplicar a transformada inversa em cada termo (aqui usamos u como variável de Laplace padrão). Para
\frac{5}{3}\cdot\frac{u}{u^{2}+a^{2}}
a inversa é \dfrac{5}{3}\cos(at). Para
-\frac{16}{9}\cdot\frac{1}{u^{2}+a^{2}}
a inversa é
-\frac{16}{9}\cdot\frac{1}{a}\sin(at).
Substituindo a=\dfrac{2\sqrt{5}}{3}, calculemos o coeficiente do seno:
\frac{16}{9}\cdot\frac{1}{a}=\frac{16}{9}\cdot\frac{3}{2\sqrt{5}} =\frac{16\cdot3}{9\cdot2\sqrt{5}} =\frac{48}{18\sqrt{5}}=\frac{8}{3\sqrt{5}}.
Portanto, a inversa no domínio de u é
g(t)=\frac{5}{3}\cos\!\bigl(a t\bigr)-\frac{8}{3\sqrt{5}}\sin\!\bigl(a t\bigr), \qquad a=\frac{2\sqrt{5}}{3}.
Finalmente, como u=s+\dfrac{2}{3}, pelo teorema do deslocamento temos que a inversa de F(s) é
f(t)=e^{-\tfrac{2}{3}t}\,g(t).

Passo 7

Escrever f(t) de forma simplificada, agrupando um fator comum \dfrac{1}{3}:
f(t)=\frac{1}{3}\,e^{-\tfrac{2}{3}t}\Bigl(5\cos\!\bigl(\tfrac{2\sqrt{5}}{3}t\bigr)-\frac{8}{\sqrt{5}}\sin\!\bigl(\tfrac{2\sqrt{5}}{3}t\bigr)\Bigr).

Resposta

f(t)=\frac{1}{3}\,e^{-\tfrac{2}{3}t}\Bigl(5\cos\!\bigl(\tfrac{2\sqrt{5}}{3}t\bigr)-\frac{8}{\sqrt{5}}\sin\!\bigl(\tfrac{2\sqrt{5}}{3}t\bigr)\Bigr)

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