Determine
, isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
Passo 1
O enunciado pede determinar
, ou seja a transformada inversa de Laplace de
Informações dadas:
- A função
é uma função racional em . - O objetivo é encontrar
.
Passo 2
Plano de ataque (explicado como se estivéssemos na prova, passo a passo):
- Para obter inversa de Laplace de uma razão com denominador quadrático, é conveniente completar o quadrado no denominador para identificar termos do tipo
deslocados. - Depois de completar o quadrado, faremos a substituição
para deixar o denominador na forma . Isso permite usar as formas padrão: - Se aparecer um deslocamento
em , usaremos o teorema do deslocamento: se então . Inversamente, .
Passo 3
Completar o quadrado no denominador. Começo fatorando
:
Complete o quadrado dentro do parêntese:
Portanto
Multiplicando por
:
Definindo
temos
Passo 4
Reescrever o numerador em função de
. Como
,
Logo
Passo 5
Separar em frações que correspondam às transformadas conhecidas. Escrevendo explicitamente:
Lembre-se das transformadas padrões (onde aqui a variável de
é
, mas isso corresponde a
quando aplicamos a inversa):
Da segunda relação, obtemos
Passo 6
Aplicar a transformada inversa em cada termo (aqui usamos
como variável de Laplace padrão). Para
a inversa é
. Para
a inversa é
Substituindo
, calculemos o coeficiente do seno:
Portanto, a inversa no domínio de
é
Finalmente, como
, pelo teorema do deslocamento temos que a inversa de
é
Passo 7
Escrever
de forma simplificada, agrupando um fator comum
: