Exercício 6. Verifique se as funções abaixo são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras:
Passo 1
O enunciado dá a função
O que é pedido: verificar se
é injetora, sobrejetora ou bijetora.
Informações úteis fornecidas:
Informações úteis fornecidas:
- Domínio:
. - Contradomínio:
. - Regra:
(uma função afim de coeficiente angular e intercepto ).
Passo 2
Definições essenciais (explicadas de forma simples):
-
é injetora se valores diferentes de entrada geram valores diferentes de saída. Formalmente: é injetora se, sempre que , então . -
é sobrejetora se para todo no contradomínio existe pelo menos um no domínio com . Formalmente: tal que . -
é bijetora se é simultaneamente injetora e sobrejetora (ou seja, estabelece uma correspondência um-para-um entre domínio e contradomínio).
Vamos provar cada propriedade de maneira bem direta e algébrica, que é o jeito mais seguro na prova.
Passo 3
Prova de injetividade (passo a passo algébrico):
- Suponha que
para dois números quaisquer . - Então
- Subtraindo
de ambos os lados:
- Dividindo ambos os lados por
(que é diferente de zero):
- Conclusão: a hipótese
levou a , portanto é injetora.
Comentário didático extra (modo intuitivo): como a função é linear com coeficiente angular
, ela é estritamente crescente — entradas maiores produzem saídas maiores — o que também garante injetividade. Mas a prova algébrica acima já basta.
Passo 4
Prova de sobrejetividade (construtiva):
- Tome um elemento arbitrário
do contradomínio. - Queremos encontrar
tal que , ou seja,
- Resolver para
:
- Observação: se
então . Logo para qualquer existe um real que o produz. - Conclusão:
existe com , portanto é sobrejetora.
Passo 5
Conclusão sobre bijetividade e inversa:
- Como
é injetora (Passo 3) e sobrejetora (Passo 4), então é bijetora. - Além disso, a bijetividade nos permite escrever a inversa explicitamente: para
,
Verificação rápida:
e
Isso confirma que a expressão dada é realmente a inversa.
Resposta
Injetora: Sim
Sobrejetora: Sim
Bijetora: Sim
Sobrejetora: Sim
Bijetora: Sim