Exercício 6. Verifique se as funções abaixo são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras:
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=2 x+3

Passo 1

O enunciado dá a função
f: \mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad f(x)=2x+3.
O que é pedido: verificar se f é injetora, sobrejetora ou bijetora.
Informações úteis fornecidas:
  • Domínio: \mathbb{R}.
  • Contradomínio: \mathbb{R}.
  • Regra: f(x)=2x+3 (uma função afim de coeficiente angular 2 e intercepto 3).

Passo 2

Definições essenciais (explicadas de forma simples):
  • f é injetora se valores diferentes de entrada geram valores diferentes de saída. Formalmente: f é injetora se, sempre que f(x_1)=f(x_2), então x_1=x_2.
  • f é sobrejetora se para todo y no contradomínio existe pelo menos um x no domínio com f(x)=y. Formalmente: \forall y\in\mathbb{R},\\ \exists x\in\mathbb{R} tal que f(x)=y.
  • f é bijetora se é simultaneamente injetora e sobrejetora (ou seja, estabelece uma correspondência um-para-um entre domínio e contradomínio).
Vamos provar cada propriedade de maneira bem direta e algébrica, que é o jeito mais seguro na prova.

Passo 3

Prova de injetividade (passo a passo algébrico):
  1. Suponha que f(x_1)=f(x_2) para dois números quaisquer x_1,x_2\in\mathbb{R}.
  2. Então
2x_1+3=2x_2+3.
  1. Subtraindo 3 de ambos os lados:
2x_1=2x_2.
  1. Dividindo ambos os lados por 2 (que é diferente de zero):
x_1=x_2.
  1. Conclusão: a hipótese f(x_1)=f(x_2) levou a x_1=x_2, portanto f é injetora.
Comentário didático extra (modo intuitivo): como a função é linear com coeficiente angular 2>0, ela é estritamente crescente — entradas maiores produzem saídas maiores — o que também garante injetividade. Mas a prova algébrica acima já basta.

Passo 4

Prova de sobrejetividade (construtiva):
  1. Tome um elemento arbitrário y\in\mathbb{R} do contradomínio.
  2. Queremos encontrar x\in\mathbb{R} tal que f(x)=y, ou seja,
2x+3=y.
  1. Resolver para x:
2x=y-3\quad\Rightarrow\quad x=\frac{y-3}{2}.
  1. Observação: se y\in\mathbb{R} então \dfrac{y-3}{2}\in\mathbb{R}. Logo para qualquer y existe um x real que o produz.
  2. Conclusão: \forall y\in\mathbb{R} existe x\in\mathbb{R} com f(x)=y, portanto f é sobrejetora.

Passo 5

Conclusão sobre bijetividade e inversa:
  • Como f é injetora (Passo 3) e sobrejetora (Passo 4), então f é bijetora.
  • Além disso, a bijetividade nos permite escrever a inversa explicitamente: para y\in\mathbb{R},
f^{-1}(y)=\frac{y-3}{2}.
Verificação rápida:
f\bigl(f^{-1}(y)\bigr)=2\cdot\frac{y-3}{2}+3=y-3+3=y,
e
f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=\frac{2x+3-3}{2}=\frac{2x}{2}=x.
Isso confirma que a expressão dada é realmente a inversa.

Resposta

Injetora: Sim
Sobrejetora: Sim
Bijetora: Sim

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