Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=s+6s(s+1)^2

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente achar a transformada inversa de Laplace de
F(s)=s+6s,(s+1)^2
Conteúdo: transformada inversa de Laplace e descomposição em frações parciais.
O que vamos precisar:
  1. Entender que a gente precisa escrever como soma de termos mais simples (frações parciais).
  2. Aplicar a tabela básica de transformadas inversas:
    • ,
    • ,
    • .

Passo 2

Primeiro, lembra que a transformada inversa de Laplace, , pega uma função em e devolve outra em . Mas dá pra usar direto só pra frações tipo , , etc. Então a gente desmembra em termos desses pedaços usando frações parciais.

Passo 3

Vamos supor que
s+6s,(s+1)^2 = As + Bs+1 + C(s+1)^2
A ideia é achar .

Passo 4

Multiplica tudo por s+6 = A,(s+1)^2 + B,s,(s+1) + C,s pra limpar denominadores:
A(s^2+2s+1) + B(s^2+s) + C s = (A+B),s^2 + (2A+B+C),s + A
Agora expande e compara coeficientes:
Esse deve ser igual a . Igualando coeficientes:
  1. : 
  2. : 
  3. constante: 
Como , da eq.1 vem .
Na eq.2: .

Passo 5

Então
F(s)=6s - 6s+1 - 5(s+1)^2
Agora aplica a transformada inversa em cada termo:
  • .
  • .
  • .

Resposta

f(t) ;=; 6 ;-; 6,e^-t ;-; 5,t,e^-t

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