Determine a transformada inversa de Laplace: F(s)=\frac{s^{2}+6 s+5}{(s+2)^{3}}\
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
F(s)=\frac{s^{2}+6 s+5}{(s+2)^{3}}.
Informações relevantes que temos:
\text{(i)}\quad F(s)\\ \text{é uma função racional com denominador }(s+2)^{3},
\text{(ii)}\quad \text{numerador }s^{2}+6s+5\\ \text{é de grau }2,
\text{(iii)}\quad \text{queremos }f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}\\ \text{normalmente para }t\ge0.
Passo 2
Método escolhido (sem perder tempo): decompor F(s) em frações parciais usando o polo repetido em s=-2 e depois aplicar a linearidade da transformada inversa e as fórmulas padrão de transformada de potências de t multiplicadas por expoente decrescente. Vou explicar as fórmulas que vou usar:
Multiplicando ambos os lados por (s+2)^{3} obtemos a identidade em s:
s^{2}+6s+5 = A(s+2)^{2} + B(s+2) + C.
Passo 4
Expandir o lado direito e agrupar coeficientes para comparar com o polinômio do lado esquerdo:
A(s+2)^{2} + B(s+2) + C = A(s^{2}+4s+4) + B s + 2B + C.
Reescrevendo por potências de s\):
\[= A s^{2} + (4A + B)s + (4A + 2B + C).
Como isso deve ser igual a s^{2}+6s+5, igualamos coeficientes das potências correspondentes:
\begin{cases} \text{coef. de }s^{2}: & A = 1,\\[4pt] \text{coef. de }s: & 4A + B = 6,\\[4pt] \text{constante:} & 4A + 2B + C = 5. \end{cases}
Substituindo (A=1] na segunda equação: 4\cdot 1 + B = 6 \implies B = 2.
Agora na terceira: 4\cdot 1 + 2\cdot 2 + C = 5 \implies 4 +4 + C =5 \implies C = -3.]