Determine a transformada inversa de Laplace:
F(s)=\frac{s^{2}+6 s+5}{(s+2)^{3}}\

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
F(s)=\frac{s^{2}+6 s+5}{(s+2)^{3}}.
Informações relevantes que temos:
\text{(i)}\quad F(s)\\ \text{é uma função racional com denominador }(s+2)^{3},éçã
\text{(ii)}\quad \text{numerador }s^{2}+6s+5\\ \text{é de grau }2,é
\text{(iii)}\quad \text{queremos }f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}\\ \text{normalmente para }t\ge0.

Passo 2

Método escolhido (sem perder tempo): decompor F(s) em frações parciais usando o polo repetido em s=-2 e depois aplicar a linearidade da transformada inversa e as fórmulas padrão de transformada de potências de t multiplicadas por expoente decrescente. Vou explicar as fórmulas que vou usar:
\mathcal{L}\{e^{-a t}\}=\frac{1}{s+a},
e, de forma geral, para inteiro n\ge0,
\mathcal{L}\{t^{n}e^{-a t}\}=\frac{n!}{(s+a)^{\,n+1}}.
Dessa forma, a inversa é
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+a)^{\,k}}\right\}=\frac{t^{k-1}e^{-a t}}{(k-1)!}\quad\text{para }k\in\mathbb{N}.
Exemplos simples que vou usar diretamente:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+a}\right\}=e^{-a t},\qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+a)^{2}}\right\}=t e^{-a t},
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+a)^{3}}\right\}=\frac{t^{2} e^{-a t}}{2}.

Passo 3

Fazer a decomposição em frações parciais com polo triplo em s=-2. Buscamos constantes A,B,C tais que
\frac{s^{2}+6s+5}{(s+2)^{3}}=\frac{A}{s+2}+\frac{B}{(s+2)^{2}}+\frac{C}{(s+2)^{3}}.
Multiplicando ambos os lados por (s+2)^{3} obtemos a identidade em s:
s^{2}+6s+5 = A(s+2)^{2} + B(s+2) + C.

Passo 4

Expandir o lado direito e agrupar coeficientes para comparar com o polinômio do lado esquerdo:
A(s+2)^{2} + B(s+2) + C = A(s^{2}+4s+4) + B s + 2B + C.
Reescrevendo por potências de s\): \[= A s^{2} + (4A + B)s + (4A + 2B + C).
Como isso deve ser igual a s^{2}+6s+5, igualamos coeficientes das potências correspondentes:
\begin{cases} \text{coef. de }s^{2}: & A = 1,\\[4pt] \text{coef. de }s: & 4A + B = 6,\\[4pt] \text{constante:} & 4A + 2B + C = 5. \end{cases}
Substituindo (A=1] na segunda equação:
4\cdot 1 + B = 6 \implies B = 2.
Agora na terceira:
4\cdot 1 + 2\cdot 2 + C = 5 \implies 4 +4 + C =5 \implies C = -3.]

Passo 5

Portanto a decomposição é
F(s)=\frac{1}{s+2}+\frac{2}{(s+2)^{2}}-\frac{3}{(s+2)^{3}}.
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, usando a linearidade de \mathcal{L}^{-1} e as fórmulas do Passo 2, com a=2.

Passo 6

Calcular cada termo:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+2}\right\}=e^{-2t},
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2}{(s+2)^{2}}\right\}=2\cdot t e^{-2t}=2t e^{-2t},
\mathcal{L}^{-1}\left\{-\frac{3}{(s+2)^{3}}\right\}=-3\cdot\frac{t^{2} e^{-2t}}{2}=-\frac{3}{2}t^{2} e^{-2t}.

Passo 7

Somando os três termos (lembre que a transformada inversa é linear) obtemos a função no domínio do tempo:
f(t)=e^{-2t}+2t e^{-2t}-\frac{3}{2}t^{2} e^{-2t}.
Fatorando e^{-2t} para ficar mais compacto:
f(t)=e^{-2t}\left(1+2t-\frac{3}{2}t^{2}\right),\qquad t\ge0.

Resposta

f(t)=e^{-2t}\left(1+2t-\dfrac{3}{2}t^{2}\right),\;t\ge0

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