QUESTÃO 02 : Avalie os limites.
\lim _{x \rightarrow-2}\left(-3 x^{4}+x^{3}-5 x+\pi\right).

Passo 1

O enunciado pede que a gente avalie o limite
\lim_{x\to -2}\left(-3x^{4}+x^{3}-5x+\pi\right).
Informações dadas:
\;x é a variável que tende para -2.\n
A expressão cujo limite devemos calcular é a soma de termos: um polinômio em x mais a constante \pi.\n
A pergunta explícita é: qual é o valor numérico desse limite quando x se aproxima de -2?

Passo 2

Entendendo a teoria necessária (passo didático): por que podemos simplesmente “substituir” x=-2 na expressão para obter o limite?\n
  • Definição prática: o limite \lim_{x\to a} f(x) é o valor que f(x) tende quando x se aproxima de a.\n
  • Teorema importante e fácil de usar: funções polinomiais e funções constantes (como \pi) são contínuas em todo ponto do domínio. Para uma função contínua f em a vale
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
  • Como nossa expressão -3x^{4}+x^{3}-5x+\pi é soma de polinômios e de uma constante, ela é contínua em x=-2. Portanto podemos calcular o limite apenas avaliando a expressão em x=-2.\n
    Agora vamos aplicar essa ideia passo a passo: substituir x=-2 e calcular cada termo.

Passo 3

Substituindo x=-2 em cada termo e calculando com calma:\n
Calcule (-2)^{4}. Como o expoente 4 é par:
(-2)^{4}=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=16.
Então
-3x^{4}\Big|_{x=-2}=-3\cdot 16=-48.

Passo 4

Calcule x^{3} em x=-2. Como o expoente 3 é ímpar:
(-2)^{3}=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=-8.
Portanto
x^{3}\Big|_{x=-2}=-8.

Passo 5

Calcule -5x em x=-2:
-5x\Big|_{x=-2} = -5\cdot(-2)=10.

Passo 6

O termo constante \pi permanece \pi ao avaliar em x=-2:
\pi\Big|_{x=-2}=\pi.

Passo 7

Agora somamos todos os termos obtidos:
-48 + (-8) + 10 + \pi.
Fazendo a soma dos números:
-48-8=-56,
-56+10=-46.
Portanto a soma total é
-46+\pi.

Passo 8

Conclusão: pelo teorema da continuidade (limite = valor da função no ponto), o limite pedido é exatamente o valor que encontramos ao avaliar a expressão em x=-2, isto é -46+\pi.

Resposta

\pi-46

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