Informações dadas: \;x é a variável que tende para -2.\n
A expressão cujo limite devemos calcular é a soma de termos: um polinômio em x mais a constante \pi.\n
A pergunta explícita é: qual é o valor numérico desse limite quando x se aproxima de -2?
Passo 2
Entendendo a teoria necessária (passo didático): por que podemos simplesmente “substituir” x=-2 na expressão para obter o limite?\n
Definição prática: o limite \lim_{x\to a} f(x) é o valor que f(x) tende quando x se aproxima de a.\n
Teorema importante e fácil de usar: funções polinomiais e funções constantes (como \pi) são contínuas em todo ponto do domínio. Para uma função contínua f em a vale
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Como nossa expressão -3x^{4}+x^{3}-5x+\pi é soma de polinômios e de uma constante, ela é contínua em x=-2. Portanto podemos calcular o limite apenas avaliando a expressão em x=-2.\n
Agora vamos aplicar essa ideia passo a passo: substituir x=-2 e calcular cada termo.
Passo 3
Substituindo x=-2 em cada termo e calculando com calma:\n
Calcule (-2)^{4}. Como o expoente 4 é par:
(-2)^{4}=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=16.
Então
-3x^{4}\Big|_{x=-2}=-3\cdot 16=-48.
Passo 4
Calcule x^{3} em x=-2. Como o expoente 3 é ímpar:
(-2)^{3}=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=-8.
Portanto
x^{3}\Big|_{x=-2}=-8.
Passo 5
Calcule -5x em x=-2:
-5x\Big|_{x=-2} = -5\cdot(-2)=10.
Passo 6
O termo constante \pi permanece \pi ao avaliar em x=-2:
\pi\Big|_{x=-2}=\pi.
Passo 7
Agora somamos todos os termos obtidos:
-48 + (-8) + 10 + \pi.
Fazendo a soma dos números:
-48-8=-56,
-56+10=-46.
Portanto a soma total é
-46+\pi.
Passo 8
Conclusão: pelo teorema da continuidade (limite = valor da função no ponto), o limite pedido é exatamente o valor que encontramos ao avaliar a expressão em x=-2, isto é -46+\pi.