Determine a transformada inversa de Laplace:
F(s)=\frac{s^{3}-6 s^{2}+15 s+50}{s^{2}\left(s^{2}+4 s+5\right)}

Passo 1

O problema pede para calcular a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{s^{3}-6 s^{2}+15 s+50}{s^{2}\left(s^{2}+4 s+5\right)}.
Informações dadas e observações imediatas:
\text{numerador: }s^{3}-6 s^{2}+15 s+50,
\text{denominador: }s^{2}\left(s^{2}+4 s+5\right).
O denominador tem um fator \,s^{2}\, (polo em s=0 de ordem 2) e um quadrático \,s^{2}+4s+5. Note que
s^{2}+4s+5=(s+2)^{2}+1.
A missão: encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}(t).

Passo 2

Decidimos usar frações parciais. Primeiro verificamos se a fração é própria: o grau do numerador é 3 e do denominador é 4, então já é própria — podemos fazer decomposição sem divisão polinomial prévia.
Forma apropriada de decomposição (por causa de s^{2} e do quadrático irreduzível):
\frac{s^{3}-6 s^{2}+15 s+50}{s^{2}\left(s^{2}+4 s+5\right)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C s+D}{s^{2}+4 s+5}.
Expliquei: usamos \frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}} porque o polo em s=0 tem multiplicidade 2; e \frac{C s+D}{s^{2}+4 s+5} para o quadrático linear no numerador.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por s^{2}(s^{2}+4s+5) para eliminar denominadores:
s^{3}-6 s^{2}+15 s+50 = A s (s^{2}+4s+5) + B (s^{2}+4s+5) + (C s+D) s^{2}.
Agora expandimos os termos do lado direito separando por potências de s.
Expandindo A s (s^{2}+4s+5):
A s (s^{2}+4s+5) = A s^{3} + 4A s^{2} + 5A s.
Expandindo B (s^{2}+4s+5):
B (s^{2}+4s+5) = B s^{2} + 4B s + 5B.
Expandindo (C s+D) s^{2}:
(C s+D) s^{2} = C s^{3} + D s^{2}.
Somando tudo, o lado direito fica:
(A+C) s^{3} + (4A + B + D) s^{2} + (5A + 4B) s + 5B.

Passo 4

Igualamos coeficientes do polinômio com os do numerador s^{3}-6 s^{2}+15 s+50\). Obtemos o sistema: \[\begin{cases} A + C = 1,\\[4pt] 4A + B + D = -6,\\[4pt] 5A + 4B = 15,\\[4pt] 5B = 50. \end{cases}
Da última equação obtemos imediatamente (B].
Calculando:
5B=50 \implies B=10.
Com B=10 na terceira equação:
5A + 4\cdot 10 = 15 \implies 5A + 40 = 15 \implies 5A = -25 \implies A = -5.
Da primeira equação:
A + C = 1 \implies -5 + C = 1 \implies C = 6.
Da segunda equação:
4A + B + D = -6 \implies 4(-5) + 10 + D = -6 \implies -20 + 10 + D = -6 \implies D = 4.]

Passo 5

Temos, portanto, os coeficientes:
A=-5,\quad B=10,\quad C=6,\quad D=4.
Logo a decomposição em frações parciais é
F(s) = -\frac{5}{s} + \frac{10}{s^{2}} + \frac{6s+4}{s^{2}+4s+5}.

Passo 6

Para inverter a parte com o quadrático, completamos o quadrado:
s^{2}+4s+5=(s+2)^{2}+1.
Reescrevemos o numerador 6s+4 em função de s+2:
6s+4 = 6(s+2) -8.
Assim
\frac{6s+4}{s^{2}+4s+5} = \frac{6(s+2)}{(s+2)^{2}+1} - \frac{8}{(s+2)^{2}+1}.

Passo 7

Agora aplicamos pares conhecidos de transformada de Laplace inversa. Lembrete das fórmulas importantes e o que significa cada símbolo:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}(t)=1. Aqui s é a variável do domínio complexa da transformada.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}}\right\}(t)=t.
  • Para deslocamento em s: \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}}\right\}(t)=e^{-a t}\cos(bt).
  • E \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}\right\}(t)=e^{-a t}\sin(bt).
    Nesta questão temos a=2 e b=1 para o quadrático (s+2)^{2}+1.
Aplicando termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\frac{5}{s}\right\}(t) = -5,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{10}{s^{2}}\right\}(t) = 10t,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{6(s+2)}{(s+2)^{2}+1}\right\}(t) = 6 e^{-2t}\cos t,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{8}{(s+2)^{2}+1}\right\}(t) = 8 e^{-2t}\sin t.
Observe o sinal: na decomposição tínhamos -\dfrac{8}{(s+2)^{2}+1}, então isso gera -8 e^{-2t}\sin t.
Somando tudo, a função no tempo é
f(t) = -5 + 10 t + 6 e^{-2t}\cos t - 8 e^{-2t}\sin t.

Resposta

f(t) = -5 + 10t + 6e^{-2t}\cos t - 8e^{-2t}\sin t

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