Determine a transformada inversa de Laplace:
Passo 1
O problema pede para calcular a transformada inversa de Laplace de
Informações dadas e observações imediatas:
O denominador tem um fator
(polo em
de ordem 2) e um quadrático
. Note que
A missão: encontrar
.
Passo 2
Decidimos usar frações parciais. Primeiro verificamos se a fração é própria: o grau do numerador é
e do denominador é
, então já é própria — podemos fazer decomposição sem divisão polinomial prévia.
Forma apropriada de decomposição (por causa de
e do quadrático irreduzível):
Expliquei: usamos
porque o polo em
tem multiplicidade 2; e
para o quadrático linear no numerador.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Agora expandimos os termos do lado direito separando por potências de
.
Expandindo
:
Expandindo
:
Expandindo
:
Somando tudo, o lado direito fica:
Passo 4
Igualamos coeficientes do polinômio com os do numerador
Da última equação obtemos imediatamente (B].
Calculando:
Com
na terceira equação:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Passo 5
Temos, portanto, os coeficientes:
Logo a decomposição em frações parciais é
Passo 6
Para inverter a parte com o quadrático, completamos o quadrado:
Reescrevemos o numerador
em função de
:
Assim
Passo 7
Agora aplicamos pares conhecidos de transformada de Laplace inversa. Lembrete das fórmulas importantes e o que significa cada símbolo:
-
Aqui é a variável do domínio complexa da transformada. -
- Para deslocamento em
: - E
Nesta questão temose para o quadrático .
Aplicando termo a termo:
Observe o sinal: na decomposição tínhamos
, então isso gera
.
Somando tudo, a função no tempo é