Determine a transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
O que o exercício pede: calcular a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas: a função é definida para
.
O que vamos devolver: a expressão e a condição em
para a qual a integral converge.
Informações dadas: a função é
O que vamos devolver: a expressão
Passo 2
Definição da transformada de Laplace (aula rápida): para uma função
definida em
, a transformada de Laplace é
onde
é, em geral, um número complexo. A integral impropriamente converge quando a parte real de
é grande o suficiente; para funções trigonométricas como seno e cosseno, a condição típica de convergência é
. Vou mostrar como isso aparece na conta.
Passo 3
Escrevemos a integral que precisamos calcular (vou chamar de
):
Para lidar com a integral imprópria, primeiro integramos até um limite finito
e depois fazemos
:
Passo 4
Vamos calcular
por integração por partes uma vez, escolhendo
u = e dv =
. Então
du = e v =
.
A fórmula de integração por partes dá
u =
du =
A fórmula de integração por partes
Chamo a integral que aparece de
, ou seja
de modo que
pois
.
Passo 5
Agora calculamos
também por integração por partes. Escolho
u = e dv =
. Então
du = e v =
.
Aplicando integração por partes:
u =
du =
Aplicando integração por partes:
Reconhecendo
, obtemos
pois
.
Passo 6
Substituímos
na expressão de
obtida no Passo 4:
Agora vamos organizar os termos. Multiplicando e recolhendo
no lado esquerdo:
Passo 7
Fazemos o limite
. Para
temos
, então os termos com
desaparecem. Assim
Agora isolamos
:
Simplificando a fração (multiplicando numerador e denominador por
):
Passo 8
Interpretação final e condição de existência: a transformação que calculamos vale para valores de
com
, condição que garante que
decai e a integral impropria converge. Também é bom memorizar a fórmula geral
que para
dá o resultado acima.
Resposta
para