Determine a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=\operatorname{sen}(\pi t)

Passo 1

O que o exercício pede: calcular a transformada de Laplace da função f(t)=\operatorname{sen}(\pi t).
Informações dadas: a função é f(t)=\operatorname{sen}(\pi t) definida para t\ge 0.
O que vamos devolver: a expressão \mathcal{L}\{\operatorname{sen}(\pi t)\}(s) e a condição em s para a qual a integral converge.

Passo 2

Definição da transformada de Laplace (aula rápida): para uma função f(t) definida em t\ge 0, a transformada de Laplace é
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é, em geral, um número complexo. A integral impropriamente converge quando a parte real de s é grande o suficiente; para funções trigonométricas como seno e cosseno, a condição típica de convergência é \operatorname{Re}(s)>0. Vou mostrar como isso aparece na conta.

Passo 3

Escrevemos a integral que precisamos calcular (vou chamar de I(s)):
I(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\operatorname{sen}(\pi t)\,dt.
Para lidar com a integral imprópria, primeiro integramos até um limite finito A e depois fazemos A\to\infty:
I_A(s)=\int_{0}^{A} e^{-st}\operatorname{sen}(\pi t)\,dt,\qquad I(s)=\lim_{A\to\infty} I_A(s).

Passo 4

Vamos calcular I_A(s) por integração por partes uma vez, escolhendo
u = \operatorname{sen}(\pi t) e dv = e^{-st}dt. Então
du = \pi\operatorname{cos}(\pi t)\,dt e v = -\dfrac{e^{-st}}{s}.
A fórmula de integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du
I_A(s)=\left[-\frac{e^{-st}\operatorname{sen}(\pi t)}{s}\right]_0^{A}+\frac{\pi}{s}\int_{0}^{A} e^{-st}\operatorname{cos}(\pi t)\,dt.
Chamo a integral que aparece de J_A(s), ou seja
J_A(s)=\int_{0}^{A} e^{-st}\operatorname{cos}(\pi t)\,dt,
de modo que
I_A(s)=-\frac{e^{-sA}\operatorname{sen}(\pi A)}{s}+\frac{\pi}{s}J_A(s),
pois \operatorname{sen}(0)=0.

Passo 5

Agora calculamos J_A(s) também por integração por partes. Escolho
u = \operatorname{cos}(\pi t) e dv = e^{-st}dt. Então
du = -\pi\operatorname{sen}(\pi t)\,dt e v = -\dfrac{e^{-st}}{s}.
Aplicando integração por partes:
J_A(s)=\left[-\frac{e^{-st}\operatorname{cos}(\pi t)}{s}\right]_0^{A}-\frac{\pi}{s}\int_{0}^{A} e^{-st}\operatorname{sen}(\pi t)\,dt.
Reconhecendo \int_{0}^{A} e^{-st}\operatorname{sen}(\pi t)\,dt = I_A(s), obtemos
J_A(s)=-\frac{e^{-sA}\operatorname{cos}(\pi A)}{s}+\frac{1}{s}-\frac{\pi}{s}I_A(s),
pois \operatorname{cos}(0)=1.

Passo 6

Substituímos J_A(s) na expressão de I_A(s) obtida no Passo 4:
I_A(s)=-\frac{e^{-sA}\operatorname{sen}(\pi A)}{s}+\frac{\pi}{s}\left(-\frac{e^{-sA}\operatorname{cos}(\pi A)}{s}+\frac{1}{s}-\frac{\pi}{s}I_A(s)\right).
Agora vamos organizar os termos. Multiplicando e recolhendo I_A(s) no lado esquerdo:
I_A(s)\Big(1+\frac{\pi^2}{s^2}\Big)=\frac{\pi}{s^2}-\frac{e^{-sA}\operatorname{sen}(\pi A)}{s}-\frac{\pi e^{-sA}\operatorname{cos}(\pi A)}{s^2}.

Passo 7

Fazemos o limite A\to\infty. Para \operatorname{Re}(s)>0 temos e^{-sA}\to 0, então os termos com e^{-sA} desaparecem. Assim
I(s)\Big(1+\frac{\pi^2}{s^2}\Big)=\frac{\pi}{s^2}.
Agora isolamos I(s):
I(s)=\frac{\pi/s^2}{1+\pi^2/s^2}.
Simplificando a fração (multiplicando numerador e denominador por s^2):
I(s)=\frac{\pi}{s^2+\pi^2}.

Passo 8

Interpretação final e condição de existência: a transformação que calculamos vale para valores de s com \operatorname{Re}(s)>0, condição que garante que e^{-st} decai e a integral impropria converge. Também é bom memorizar a fórmula geral
\mathcal{L}\{\operatorname{sen}(\omega t)\}(s)=\frac{\omega}{s^2+\omega^2},
que para \omega=\pi dá o resultado acima.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{\operatorname{sen}(\pi t)\}(s)=\frac{\pi}{s^{2}+\pi^{2}}
para \operatorname{Re}(s)>0

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