3-Determine a transformada inversa de Laplace de:
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Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função racional
Informações dadas e o que é pedido:
- Dado:
. - Pedido: encontrar
tal que , ou seja, a transformada inversa de Laplace de . - Na tabela fornecida consta o par
, que será útil.
Passo 2
Idéia do método (sem resolver ainda): para funções racionais simples como essa costuma-se fatorar o denominador e fazer decomposição em frações parciais; depois aplica-se a linearidade da transformada inversa termo a termo usando pares básicos como
.
Rápida revisão das ferramentas que vou usar (explicação didática):
- Linearidade da transformada inversa: se
, então . Aqui são constantes. - Transformada básica:
. Inversamente, . - Decomposição em frações parciais: quando o denominador fatora em termos lineares distintos
, qualquer razão com grau do numerador menor que o do denominador pode ser escrita como . Depois resolve-se e comparando coeficientes ou substituindo valores de .
Passo 3
Fatorar o denominador para ver os fatores lineares:
Portanto
Passo 4
Fazer a decomposição em frações parciais. Suponha que
Multiplicando ambos os lados por
Expandindo o lado direito:
Agora igualamos coeficientes dos termos em
e dos termos constantes:
- Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Resolver o sistema
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Então (B=1-A=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}].
Portanto a decomposição é
Passo 5
Aplicar a transformada inversa termo a termo, usando o par
e a linearidade.
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Somando as contribuições (pela linearidade):
Passo 6
Cheque rápido (verificação): podemos recombinar as frações parciais para confirmar que voltamos a
.
que é exatamente
. Portanto a inversa está correta.