3-Determine a transformada inversa de Laplace de:
F(s)=\frac{s+2}{s^{2}+4 s+3}
f(t) F(s)
e^{-\alpha t} \frac{1}{s+a}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função racional
F(s)=\frac{s+2}{s^{2}+4 s+3}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Dado: \displaystyle F(s)=\dfrac{s+2}{s^{2}+4s+3}.
  • Pedido: encontrar f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s), ou seja, a transformada inversa de Laplace de F(s).
  • Na tabela fornecida consta o par \displaystyle e^{-\alpha t}\longleftrightarrow\frac{1}{s+\alpha}, que será útil.

Passo 2

Idéia do método (sem resolver ainda): para funções racionais simples como essa costuma-se fatorar o denominador e fazer decomposição em frações parciais; depois aplica-se a linearidade da transformada inversa termo a termo usando pares básicos como \displaystyle \frac{1}{s+\alpha}\longleftrightarrow e^{-\alpha t}.
Rápida revisão das ferramentas que vou usar (explicação didática):
  • Linearidade da transformada inversa: se \displaystyle F(s)=aG(s)+bH(s), então \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=a\,\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}+b\,\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}. Aqui a,b são constantes.
  • Transformada básica: \displaystyle \mathcal{L}\{e^{-\alpha t}\}=\frac{1}{s+\alpha}. Inversamente, \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+\alpha}\right\}=e^{-\alpha t}.
  • Decomposição em frações parciais: quando o denominador fatora em termos lineares distintos (s+a)(s+b), qualquer razão com grau do numerador menor que o do denominador pode ser escrita como \displaystyle \frac{A}{s+a}+\frac{B}{s+b}. Depois resolve-se A e B comparando coeficientes ou substituindo valores de s.

Passo 3

Fatorar o denominador para ver os fatores lineares:
s^{2}+4s+3=(s+1)(s+3).
Portanto
F(s)=\frac{s+2}{(s+1)(s+3)}.

Passo 4

Fazer a decomposição em frações parciais. Suponha que
\frac{s+2}{(s+1)(s+3)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+3}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+3)\) obtemos a identidade polinomial \[s+2=A(s+3)+B(s+1).
Expandindo o lado direito:
s+2=(A+B)s+(3A+B).
Agora igualamos coeficientes dos termos em s e dos termos constantes:
  • Coeficiente de s: 1=A+B.
  • Termo constante: 2=3A+B.
Resolver o sistema
\begin{cases} A+B=1,\\[4pt] 3A+B=2. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(3A+B)-(A+B)=2-1 \quad\Rightarrow\quad 2A=1 \quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{2}.
Então (B=1-A=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}].
Portanto a decomposição é
\frac{s+2}{(s+1)(s+3)}=\frac{1/2}{s+1}+\frac{1/2}{s+3}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s+3}.]

Passo 5

Aplicar a transformada inversa termo a termo, usando o par \displaystyle \frac{1}{s+\alpha}\longleftrightarrow e^{-\alpha t} e a linearidade.
Para o primeiro termo:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s+1}\right\}=\frac{1}{2}e^{-1\cdot t}=\frac{1}{2}e^{-t}.
Para o segundo termo:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s+3}\right\}=\frac{1}{2}e^{-3t}.
Somando as contribuições (pela linearidade):
f(t)=\frac{1}{2}e^{-t}+\frac{1}{2}e^{-3t}.

Passo 6

Cheque rápido (verificação): podemos recombinar as frações parciais para confirmar que voltamos a F(s).
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s+3}=\frac{1}{2}\cdot\frac{s+3}{(s+1)(s+3)}+\frac{1}{2}\cdot\frac{s+1}{(s+1)(s+3)}
=\frac{\tfrac{1}{2}(s+3)+\tfrac{1}{2}(s+1)}{(s+1)(s+3)}=\frac{s+2}{(s+1)(s+3)},
que é exatamente F(s). Portanto a inversa está correta.

Resposta

f(t)=\frac{1}{2}e^{-t}+\frac{1}{2}e^{-3t}

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