Para cada uma das funções de transferência mostradas abaixo, desenhe o plano complexo com a localização dos polos e zeros (deixe claro a escala dos eixos). Conforme a localização destes, escreva a natureza da resposta transitória, isto é, superamortecida, subamortecida, etc.
G_{2}(s)=\frac{s+5}{\left(s^{2}+4 s+4\right)}

Passo 1

O enunciado nos dá a função de transferência
G_{2}(s)=\frac{s+5}{\left(s^{2}+4 s+4\right)}
O que é pedido:
  • Desenhar o plano complexo com a localização dos polos e zeros (deixar clara a escala dos eixos).
  • A partir dessa localização, escrever a natureza da resposta transitória (por exemplo: superamortecida, subamortecida, criticamente amortecida, etc.).
Informações fornecidas: a expressão algébrica de G_{2}(s).
Perguntas: posição dos polos e zeros no plano s e classificação da resposta transitória.

Passo 2

Encontrar os zeros: resolver o numerador igual a zero.
s+5=0 \quad\Rightarrow\quad s=-5.
Portanto há um zero simples em s=-5.

Passo 3

Encontrar os polos: fatorar o denominador ou resolver a equação quadrática.
s^{2}+4s+4 = (s+2)^2,
pois (s+2)^2 = s^2 + 4s +4. Logo os polos são as raízes de (s+2)^2=0, isto é,
s=-2
com multiplicidade 2 (polo duplo em s=-2).

Passo 4

Escala e instrução para desenhar o plano complexo (descrição para desenhar manualmente):
  • Eixos: eixo real horizontal e eixo imaginário vertical.
  • Sugestão de escala: eixo real de -6 a +2 com marcações em inteiros; eixo imaginário de -3 a +3 com marcações em inteiros. Essa escala mostra claramente a posição de s=-5 e s=-2.
  • Marcação dos pontos:
    • Zero em s=-5: desenhar um círculo aberto (○) sobre o eixo real no ponto -5.
    • Polo duplo em s=-2: desenhar dois X sobrepostos ou um X com indicação de multiplicidade 2 no ponto -2 do eixo real.
  • Observação visual: todos os polos/zeros estão no semiplano esquerdo (real negativo), o que indica estabilidade (se o sistema for causal).

Passo 5

Classificação do amortecimento usando a forma canônica de um segundo ordem:
A forma canônica do denominador de um sistema de segunda ordem é
s^{2}+2\zeta\omega_n s+\omega_n^{2}.
Comparando com s^{2}+4s+4, obtemos
\omega_n^{2}=4 \Rightarrow \omega_n=2,
2\zeta\omega_n=4 \Rightarrow 2\zeta\cdot 2 = 4 \Rightarrow \zeta=1.
Logo \zeta=1, que é exatamente o caso de amortecimento crítico (criticamente amortecido).
Explicação didática sobre \zeta e \omega_n:
  • \omega_n é a frequência natural não amortecida do sistema (em rad/s).
  • \zeta é o coeficiente de amortecimento adimensional.
    • \zeta>1: superamortecido (duas raízes reais distintas, resposta sem oscilações, mais lenta).
    • \zeta=1: criticamente amortecido (raízes reais iguais, resposta sem oscilações e é a mais rápida sem oscilar).
    • 0<\zeta<1: subamortecido (raízes complexas conjugadas, resposta oscilatória amortecida).
      Neste caso \zeta=1 → resposta criticamente amortecida (não oscilatória).

Passo 6

Comentário sobre efeito do zero em s=-5:
  • O zero está em s=-5, no semiplano esquerdo e mais à esquerda que os polos em -2. Isso significa que o zero é estável e não introduz oscilações por si só.
  • O zero pode alterar a forma da resposta transitória (por exemplo, amplitude, velocidade de subida ou presença de um pequeno sobressinal dependendo do tipo de entrada e ganho), mas não muda a classificação de amortecimento determinada pelos polos. Como os polos determinam \zeta=1, o sistema permanecerá criticamente amortecido (sem oscilações), embora o detalhe temporal do sinal possa ser modificado pelo zero.

Passo 7

Ilustração analítica rápida do efeito do polo duplo na resposta ao impulso (opcional, para entender a forma temporal):
Fazer a decomposição em frações parciais da função G_{2}(s) para a resposta ao impulso:
\frac{s+5}{(s+2)^2}=\frac{A}{s+2}+\frac{B}{(s+2)^2}.
Multiplicando e igualando coeficientes:
s+5 = A(s+2)+B = As + 2A + B,
logo A=1 e 2A+B=5 \Rightarrow B=3. Assim a resposta ao impulso é
g(t)=e^{-2t}+3\,t\,e^{-2t},\quad t\ge 0.
Aqui vê-se explicitamente o termo t e^{-2t} associado ao polo duplo: não há senos/ cossenos (sem oscilação), mas a presença de t altera a forma temporal (crescimento inicial relativo seguido de decaimento exponencial).

Resposta

Polos: s=-2 (duplo).
Zero: s=-5.
Resposta transitória: criticamente amortecida ( \zeta=1; não oscilatória).

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