Para cada uma das funções de transferência mostradas abaixo, desenhe o plano complexo com a localização dos polos e zeros (deixe claro a escala dos eixos). Conforme a localização destes, escreva a natureza da resposta transitória, isto é, superamortecida, subamortecida, etc.
Passo 1
O enunciado nos dá a função de transferência
O que é pedido:
- Desenhar o plano complexo com a localização dos polos e zeros (deixar clara a escala dos eixos).
- A partir dessa localização, escrever a natureza da resposta transitória (por exemplo: superamortecida, subamortecida, criticamente amortecida, etc.).
Informações fornecidas: a expressão algébrica de
.
Perguntas: posição dos polos e zeros no plano e classificação da resposta transitória.
Perguntas: posição dos polos e zeros no plano
Passo 2
Encontrar os zeros: resolver o numerador igual a zero.
Portanto há um zero simples em
.
Passo 3
Encontrar os polos: fatorar o denominador ou resolver a equação quadrática.
pois
. Logo os polos são as raízes de
, isto é,
com multiplicidade 2 (polo duplo em
).
Passo 4
Escala e instrução para desenhar o plano complexo (descrição para desenhar manualmente):
- Eixos: eixo real horizontal e eixo imaginário vertical.
- Sugestão de escala: eixo real de
a com marcações em inteiros; eixo imaginário de a com marcações em inteiros. Essa escala mostra claramente a posição de e . - Marcação dos pontos:
- Zero em
: desenhar um círculo aberto (○) sobre o eixo real no ponto . - Polo duplo em
: desenhar dois sobrepostos ou um com indicação de multiplicidade 2 no ponto do eixo real.
- Zero em
- Observação visual: todos os polos/zeros estão no semiplano esquerdo (real negativo), o que indica estabilidade (se o sistema for causal).
Passo 5
Classificação do amortecimento usando a forma canônica de um segundo ordem:
A forma canônica do denominador de um sistema de segunda ordem é
A forma canônica do denominador de um sistema de segunda ordem é
Comparando com
, obtemos
Logo
, que é exatamente o caso de amortecimento crítico (criticamente amortecido).
Explicação didática sobre
e
:
-
é a frequência natural não amortecida do sistema (em rad/s). -
é o coeficiente de amortecimento adimensional. -
: superamortecido (duas raízes reais distintas, resposta sem oscilações, mais lenta). -
: criticamente amortecido (raízes reais iguais, resposta sem oscilações e é a mais rápida sem oscilar). -
: subamortecido (raízes complexas conjugadas, resposta oscilatória amortecida).
Neste caso→ resposta criticamente amortecida (não oscilatória).
-
Passo 6
Comentário sobre efeito do zero em
:
- O zero está em
, no semiplano esquerdo e mais à esquerda que os polos em . Isso significa que o zero é estável e não introduz oscilações por si só. - O zero pode alterar a forma da resposta transitória (por exemplo, amplitude, velocidade de subida ou presença de um pequeno sobressinal dependendo do tipo de entrada e ganho), mas não muda a classificação de amortecimento determinada pelos polos. Como os polos determinam
, o sistema permanecerá criticamente amortecido (sem oscilações), embora o detalhe temporal do sinal possa ser modificado pelo zero.
Passo 7
Ilustração analítica rápida do efeito do polo duplo na resposta ao impulso (opcional, para entender a forma temporal):
Fazer a decomposição em frações parciais da função para a resposta ao impulso:
Fazer a decomposição em frações parciais da função
Multiplicando e igualando coeficientes:
logo
e
. Assim a resposta ao impulso é
Aqui vê-se explicitamente o termo
associado ao polo duplo: não há senos/ cossenos (sem oscilação), mas a presença de
altera a forma temporal (crescimento inicial relativo seguido de decaimento exponencial).
Resposta
Polos:
(duplo).
Zero: .
Resposta transitória: criticamente amortecida ( ; não oscilatória).
Zero:
Resposta transitória: criticamente amortecida (