Determine a transformada de Laplace das seguintes funções: f(t)=2 t+6
Passo 1
O enunciado dá a função \;f(t)=2\,t+6\; e pede para determinar a transformada de Laplace dessa função. Informações relevantes que temos do enunciado:
A função é \;f(t)=2\,t+6\;.
A transformada de Laplace que precisamos calcular é a função de s definida por \mathcal{L}\{f\}(s).
Para a transformada de Laplace padrão assumimos t\ge 0 e procuramos s tal que a integral converja (veremos a condição explicitamente durante o cálculo).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função \;f(t)\; é definida por
Agora avaliamos os termos: o termo \left.-\frac{t}{s}e^{-st}\right|_{0}^{\infty} tende a zero no limite superior se \Re(s)>0 (porque a exponencial domina o crescimento linear de t), e no inferior (em t=0) é zero também. Portanto esse termo dá zero. O segundo termo usa a integral que já calculamos em Passo 5: