Determine a transformada inversa de Laplace:
F(s)=\frac{500 s^{2}+1500 s}{s^{4}-20 s^{3}+500 s^{2}}

Passo 1

O que o exercício pede: encontrar a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{500 s^{2}+1500 s}{s^{4}-20 s^{3}+500 s^{2}}.
Informações dadas relevantes:
\text{numerador: }500 s^{2}+1500 s, \qquad \text{denominador: }s^{4}-20 s^{3}+500 s^{2}.
Objetivo: achar f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s). Não vou resolver nada ainda além de listar o pedido e os dados.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: fatorar o denominador e simplificar a expressão quando possível. Vamos fatorar s^{4}-20 s^{3}+500 s^{2} por s^{2}:
s^{4}-20 s^{3}+500 s^{2}=s^{2}(s^{2}-20 s+500).
Observação do numerador: 500 s^{2}+1500 s = s(500 s+1500), ou seja, há um fator comum s que podemos cancelar com um dos s do denominador. Assim
F(s)=\frac{500 s^{2}+1500 s}{s^{2}(s^{2}-20 s+500)}=\frac{500 s+1500}{s(s^{2}-20 s+500)}.
Também note que s^{2}-20 s+500=(s-10)^{2}+20^{2} porque (s-10)^{2}=s^{2}-20s+100 e 100+400=500. Portanto o denominador tem a forma s\big((s-10)^{2}+20^{2}\big), o que sugere termos do tipo 1/s e termos deslocados (s-10)/((s-10)^2+20^2) e 1/((s-10)^2+20^2) para inverter.

Passo 3

Estratégia: fazer decomposição em frações parciais adequada à forma obtida. Como a parte quadrática é irreduzível, usamos numerador linear sobre ela. Escrevo
\frac{500 s+1500}{s\big((s-10)^{2}+20^{2}\big)}=\frac{A}{s}+\frac{C s+D}{(s-10)^{2}+20^{2}},
onde A,C,D são constantes a determinar. Expliquei: usamos A/s porque há fator simples s no denominador; usamos numerador linear C s+D sobre a parte quadrática porque grau do numerador deve ser menor que o da parte quadrática (grau 1).

Passo 4

Multiplico ambos os lados por s\big((s-10)^{2}+20^{2}\big)\) para obter identidade polinomial: \[500 s+1500 = A\big((s-10)^{2}+20^{2}\big) + (C s + D)\,s.
Lembre que (s-10)^{2}+20^{2}=s^{2}-20s+500. Substituo e organizo:
500 s+1500 = A(s^{2}-20s+500) + (C s + D)s.
Expando os termos do lado direito:
A s^{2}-20A s+500A + C s^{2} + D s = (A+C)s^{2}+(-20A + D)s + 500A.
Comparando coeficientes com o lado esquerdo 0\cdot s^{2} + 500 s + 1500, obtemos o sistema:
\begin{cases} A + C = 0,\\[4pt] -20A + D = 500,\\[4pt] 500A = 1500. \end{cases}
Da última equação vem A=\dfrac{1500}{500}=3\]. Então \(C=-A=-3. Usando -20A + D =500 temos -20\cdot 3 + D =500 logo D=500+60=560.]

Passo 5

Concluímos a decomposição:
\frac{500 s+1500}{s\big((s-10)^{2}+20^{2}\big)}=\frac{3}{s}+\frac{-3 s+560}{(s-10)^{2}+20^{2}}.
Para aplicar as fórmulas de transformada inversa com descolamento exponencial é conveniente reescrever o numerador da segunda fração em termos de (s-10). Faço:
-3 s+560 = -3(s-10) + (-30+560) = -3(s-10) + 530.
Portanto
\frac{-3 s+560}{(s-10)^{2}+20^{2}} = -3\cdot\frac{s-10}{(s-10)^{2}+20^{2}} + 530\cdot\frac{1}{(s-10)^{2}+20^{2}}.

Passo 6

Agora uso as transformadas conhecidas (aulas rápidas):
  • \mathcal{L}\{1\}(s)=\dfrac{1}{s}. Assim \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{3}{s}\}(t)=3.
  • Para a e b>0, \mathcal{L}\{e^{a t}\cos(bt)\}(s)=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}, \qquad \mathcal{L}\{e^{a t}\sin(bt)\}(s)=\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
No nosso caso a=10 e b=20. Portanto:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s-10}{(s-10)^{2}+20^{2}}\right\}(t)=e^{10 t}\cos(20 t),
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s-10)^{2}+20^{2}}\right\}(t)=\frac{1}{20}\,e^{10 t}\sin(20 t).
Aplicando a linearidade e os coeficientes encontrados:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{-3\cdot\frac{s-10}{(s-10)^{2}+20^{2}}\right\}(t)=-3 e^{10 t}\cos(20 t),
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{530\cdot\frac{1}{(s-10)^{2}+20^{2}}\right\}(t)=530\cdot\frac{1}{20} e^{10 t}\sin(20 t)=\frac{53}{2} e^{10 t}\sin(20 t).

Passo 7

Somando todas as partes (lembrando do termo \dfrac{3}{s}) obtemos a função no tempo:
f(t)=3 - 3 e^{10 t}\cos(20 t) + \frac{53}{2} e^{10 t}\sin(20 t),\qquad t\ge 0.

Resposta

f(t)=3 - 3 e^{10 t}\cos(20 t) + \dfrac{53}{2}\,e^{10 t}\sin(20 t)

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