Também note que s^{2}-20 s+500=(s-10)^{2}+20^{2} porque (s-10)^{2}=s^{2}-20s+100 e 100+400=500. Portanto o denominador tem a forma s\big((s-10)^{2}+20^{2}\big), o que sugere termos do tipo 1/s e termos deslocados (s-10)/((s-10)^2+20^2) e 1/((s-10)^2+20^2) para inverter.
Passo 3
Estratégia: fazer decomposição em frações parciais adequada à forma obtida. Como a parte quadrática é irreduzível, usamos numerador linear sobre ela. Escrevo
onde A,C,D são constantes a determinar. Expliquei: usamos A/s porque há fator simples s no denominador; usamos numerador linear C s+D sobre a parte quadrática porque grau do numerador deve ser menor que o da parte quadrática (grau 1).
Passo 4
Multiplico ambos os lados por s\big((s-10)^{2}+20^{2}\big)\) para obter identidade polinomial:
\[500 s+1500 = A\big((s-10)^{2}+20^{2}\big) + (C s + D)\,s.
Lembre que (s-10)^{2}+20^{2}=s^{2}-20s+500. Substituo e organizo:
500 s+1500 = A(s^{2}-20s+500) + (C s + D)s.
Expando os termos do lado direito:
A s^{2}-20A s+500A + C s^{2} + D s = (A+C)s^{2}+(-20A + D)s + 500A.
Comparando coeficientes com o lado esquerdo 0\cdot s^{2} + 500 s + 1500, obtemos o sistema:
\begin{cases} A + C = 0,\\[4pt] -20A + D = 500,\\[4pt] 500A = 1500. \end{cases}
Da última equação vem A=\dfrac{1500}{500}=3\]. Então \(C=-A=-3. Usando -20A + D =500 temos -20\cdot 3 + D =500 logo D=500+60=560.]
Para aplicar as fórmulas de transformada inversa com descolamento exponencial é conveniente reescrever o numerador da segunda fração em termos de (s-10). Faço: