Determine a transformada inversa de Laplace das seguintes funções:
F(s)=\frac{s-10}{s^{2}-2 s+10}

Passo 1

O que o problema pede: determinar a transformada inversa de Laplace da função
F(s)=\frac{s-10}{s^{2}-2s+10}.
Informações dadas (resumidas):
\text{Dado: }F(s)=\frac{s-10}{s^{2}-2s+10}.
Pergunta a responder: calcular f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}, ou seja, encontrar a função de t cuja transformada de Laplace é F(s).

Passo 2

Primeiro passo algébrico útil: completar o quadrado no denominador para ter uma forma padrão que combine com transformadas conhecidas. O denominador é
s^{2}-2s+10.
Complete o quadrado: (s-1)^{2}=s^{2}-2s+1, então
s^{2}-2s+10=(s-1)^{2}+9.
Portanto podemos reescrever F(s) como
F(s)=\frac{s-10}{(s-1)^{2}+3^{2}}.

Passo 3

Queremos expressar o numerador de forma que apareça um termo s-1 (para bater com o (s-1) do denominador) mais um resto. Observe:
s-10=(s-1)-9.
Então
F(s)=\frac{(s-1)-9}{(s-1)^{2}+3^{2}}.
Agora separamos em duas frações por linearidade:
F(s)=\frac{s-1}{(s-1)^{2}+3^{2}}-\frac{9}{(s-1)^{2}+3^{2}}.

Passo 4

Vou lembrar (e explicar) as transformadas de Laplace padrão que vamos usar:
  • Para \cos(bt) vale
\mathcal{L}\{\cos(bt)\}=\frac{s}{s^{2}+b^{2}}.
  • Para \sin(bt) vale
\mathcal{L}\{\sin(bt)\}=\frac{b}{s^{2}+b^{2}}.
  • E a propriedade de mudança de variável (deslocamento na variável s): se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s) então
\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a).
Usando essa propriedade com a=1 e com as transformadas acima, obtemos as formas deslocadas:
\mathcal{L}\{e^{t}\cos(3t)\}=\frac{s-1}{(s-1)^{2}+3^{2}},
\mathcal{L}\{e^{t}\sin(3t)\}=\frac{3}{(s-1)^{2}+3^{2}}.
Essas igualdades vêm substituindo s por s-1 nas transformadas padrão.

Passo 5

Agora comparemos as frações que obtivemos em F(s) com as transformadas acima:
\frac{s-1}{(s-1)^{2}+3^{2}}
corresponde exatamente a \mathcal{L}\{e^{t}\cos(3t)\}, e
\frac{9}{(s-1)^{2}+3^{2}}=3\cdot\frac{3}{(s-1)^{2}+3^{2}}
corresponde a 3\cdot\mathcal{L}\{e^{t}\sin(3t)\} porque \dfrac{3}{(s-1)^{2}+3^{2}}=\mathcal{L}\{e^{t}\sin(3t)\}.
Repare que em F(s) o segundo termo é com sinal negativo:
-\frac{9}{(s-1)^{2}+3^{2}}=-3\cdot\frac{3}{(s-1)^{2}+3^{2}}.

Passo 6

Aplicando a transformada inversa termo a termo (linearidade da transformada inversa) temos:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s-1}{(s-1)^{2}+3^{2}}\right\}=e^{t}\cos(3t),
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{9}{(s-1)^{2}+3^{2}}\right\}=3\,e^{t}\sin(3t).
Como havia um sinal negativo, o segundo termo contribui com -3\,e^{t}\sin(3t).

Passo 7

Somando as duas inversas obtemos a função tempo:
f(t)=e^{t}\cos(3t)-3\,e^{t}\sin(3t).
Fatorando e^{t} (opcional, mas deixa mais compacto):
f(t)=e^{t}\big(\cos(3t)-3\sin(3t)\big).

Resposta

e^{t}\big(\cos(3t)-3\sin(3t)\big)

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