Determine a transformada inversa de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
O que o problema pede: determinar a transformada inversa de Laplace da função
Informações dadas (resumidas):
Pergunta a responder: calcular
, ou seja, encontrar a função de
cuja transformada de Laplace é
.
Passo 2
Primeiro passo algébrico útil: completar o quadrado no denominador para ter uma forma padrão que combine com transformadas conhecidas. O denominador é
Complete o quadrado:
, então
Portanto podemos reescrever
como
Passo 3
Queremos expressar o numerador de forma que apareça um termo
(para bater com o
do denominador) mais um resto. Observe:
Então
Agora separamos em duas frações por linearidade:
Passo 4
Vou lembrar (e explicar) as transformadas de Laplace padrão que vamos usar:
- Para
vale
- Para
vale
- E a propriedade de mudança de variável (deslocamento na variável
): se então
Usando essa propriedade com
e com as transformadas acima, obtemos as formas deslocadas:
Essas igualdades vêm substituindo
por
nas transformadas padrão.
Passo 5
Agora comparemos as frações que obtivemos em
com as transformadas acima:
corresponde exatamente a
, e
corresponde a
porque
.
Repare que em
o segundo termo é com sinal negativo:
Passo 6
Aplicando a transformada inversa termo a termo (linearidade da transformada inversa) temos:
Como havia um sinal negativo, o segundo termo contribui com
.
Passo 7
Somando as duas inversas obtemos a função tempo:
Fatorando
(opcional, mas deixa mais compacto):