Determine a transformada inversa de Laplace:
F(s)=\frac{3 s+4}{(s+2)\left(s^{2}+4 s+5\right)}

Passo 1

O enunciado dá a função de s
F(s)=\frac{3 s+4}{(s+2)\left(s^{2}+4 s+5\right)}
e pede a transformada inversa de Laplace, isto é, encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.
Informações relevantes extraídas do enunciado: o numerador é 3s+4 e o denominador é o produto (s+2) por s^{2}+4s+5. A resposta deve ser uma função f(t) (normalmente para t\ge 0).

Passo 2

Primeiro simplificamos a aparência do denominador observando a identidade
s^{2}+4s+5=(s+2)^{2}+1.
Isso sugere trabalhar com a mudança de variável \,u=s+2, (às vezes virar a expressão em torno de s+2 facilita a decomposição). Substituindo s=u-2 no numerador:
3s+4=3(u-2)+4=3u-6+4=3u-2.
Assim podemos escrever
F(s)=\frac{3u-2}{u(u^{2}+1)},
onde u=s+2. Agora a expressão está em termos de u e o denominador é u(u^{2}+1), o que é conveniente para decompor em frações parciais.

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais adequada para um fator linear u\) e um quadrático irreduzível \(u^{2}+1\). Escrevemos \[\frac{3u-2}{u(u^{2}+1)}=\frac{A}{u}+\frac{Bu+C}{u^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por u(u^{2}+1) obtemos a identidade polinomial
3u-2 = A(u^{2}+1) + (Bu+C)u.
Expandindo e agrupando termos:
3u-2 = A u^{2} + A + B u^{2} + C u = (A+B)u^{2} + C u + A.
Agora igualamos coeficientes dos polinômios (comparando os termos em u^{2}, u e termo constante):
\begin{cases} \text{coeficiente de }u^{2}: & A + B = 0,\\[4pt] \text{coeficiente de }u: & C = 3,\\[4pt] \text{termo constante:} & A = -2. \end{cases}
Da última equação temos A=-2\]. Então \(B=-A=2. E C=3 já está dado. Logo os coeficientes são A=-2, B=2, C=3.]

Passo 4

Substituímos os coeficientes de volta na decomposição e voltamos à variável s (lembrando u=s+2):
F(s)=\frac{-2}{u}+\frac{2u+3}{u^{2}+1} =\frac{-2}{s+2}+\frac{2(s+2)+3}{(s+2)^{2}+1}.
Separando a segunda fração em duas parcelas:
\frac{2(s+2)+3}{(s+2)^{2}+1}=2\cdot\frac{s+2}{(s+2)^{2}+1}+3\cdot\frac{1}{(s+2)^{2}+1}.
Agora usamos as transformadas inversas padrões (essas fórmulas são fundamentais; explico rapidamente):
  • Para a,b reais, \displaystyle \mathcal{L}\{e^{-a t}\cos(bt)\}=\frac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}}. Aqui a=2 e b=1 dão \displaystyle \frac{s+2}{(s+2)^{2}+1}.
  • Para a,b reais, \displaystyle \mathcal{L}\{e^{-a t}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}. Aqui b=1 \displaystyle \frac{1}{(s+2)^{2}+1}.
Essas fórmulas vêm da definição da transformada de Laplace e das integrais que definem as transformadas de seno e cosseno multiplicadas por um decaimento exponencial e^{-a t}.

Passo 5

Aplicamos a transformada inversa termo a termo (linearidade da transformada de Laplace). Para cada parcela:
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{-2}{s+2}\right\} = -2 e^{-2t}. (pois \mathcal{L}\{e^{-2t}\}=\frac{1}{s+2})
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{2\cdot\frac{s+2}{(s+2)^{2}+1}\right\}=2 e^{-2t}\cos t.
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{3\cdot\frac{1}{(s+2)^{2}+1}\right\}=3 e^{-2t}\sin t.
Somando as três contribuições:
f(t)= -2 e^{-2t} + 2 e^{-2t}\cos t + 3 e^{-2t}\sin t.
Fatorando e^{-2t} (opcional, mas deixa mais compacto):
f(t)=e^{-2t}\big(-2 + 2\cos t + 3\sin t\big).

Resposta

f(t)=e^{-2t}\big(-2+2\cos t+3\sin t\big)

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