Determine a transformada inversa de Laplace: F(s)=\frac{3 s+4}{(s+2)\left(s^{2}+4 s+5\right)}
Passo 1
O enunciado dá a função de s
F(s)=\frac{3 s+4}{(s+2)\left(s^{2}+4 s+5\right)}
e pede a transformada inversa de Laplace, isto é, encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.
Informações relevantes extraídas do enunciado: o numerador é 3s+4 e o denominador é o produto (s+2) por s^{2}+4s+5. A resposta deve ser uma função f(t) (normalmente para t\ge 0).
Passo 2
Primeiro simplificamos a aparência do denominador observando a identidade
s^{2}+4s+5=(s+2)^{2}+1.
Isso sugere trabalhar com a mudança de variável \,u=s+2, (às vezes virar a expressão em torno de s+2 facilita a decomposição). Substituindo s=u-2 no numerador:
3s+4=3(u-2)+4=3u-6+4=3u-2.
Assim podemos escrever
F(s)=\frac{3u-2}{u(u^{2}+1)},
onde u=s+2. Agora a expressão está em termos de u e o denominador é u(u^{2}+1), o que é conveniente para decompor em frações parciais.
Passo 3
Fazemos a decomposição em frações parciais adequada para um fator linear u\) e um quadrático irreduzível \(u^{2}+1\). Escrevemos
\[\frac{3u-2}{u(u^{2}+1)}=\frac{A}{u}+\frac{Bu+C}{u^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por u(u^{2}+1) obtemos a identidade polinomial
3u-2 = A(u^{2}+1) + (Bu+C)u.
Expandindo e agrupando termos:
3u-2 = A u^{2} + A + B u^{2} + C u = (A+B)u^{2} + C u + A.
Agora igualamos coeficientes dos polinômios (comparando os termos em u^{2}, u e termo constante):
\begin{cases} \text{coeficiente de }u^{2}: & A + B = 0,\\[4pt] \text{coeficiente de }u: & C = 3,\\[4pt] \text{termo constante:} & A = -2. \end{cases}
Da última equação temos A=-2\]. Então \(B=-A=2. E C=3 já está dado. Logo os coeficientes são A=-2, B=2, C=3.]
Passo 4
Substituímos os coeficientes de volta na decomposição e voltamos à variável s (lembrando u=s+2):
Agora usamos as transformadas inversas padrões (essas fórmulas são fundamentais; explico rapidamente):
Para a,b reais, \displaystyle \mathcal{L}\{e^{-a t}\cos(bt)\}=\frac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}}. Aqui a=2 e b=1 dão \displaystyle \frac{s+2}{(s+2)^{2}+1}.
Para a,b reais, \displaystyle \mathcal{L}\{e^{-a t}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}. Aqui b=1 dá \displaystyle \frac{1}{(s+2)^{2}+1}.
Essas fórmulas vêm da definição da transformada de Laplace e das integrais que definem as transformadas de seno e cosseno multiplicadas por um decaimento exponencial e^{-a t}.
Passo 5
Aplicamos a transformada inversa termo a termo (linearidade da transformada de Laplace). Para cada parcela: